НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Вс дек 06, 2020 1:36 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Пн окт 26, 2009 1:01 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В.П. в соседней ветке привел ссылку на задачник по мат. анализу, http://math.nsc.ru/~potapov/zadach1S.pdf, я принялся его читать, и, будучи поражён числом, масштабом и глубиной предлагаемых задач, нашёл там и одно сомнительное место. Не полезно ли будет обсудить его здесь?

Конкретнее, у меня есть несколько замечаний к определению множества вещественных чисел (стр. 82). Все они заключаются в том, что Теорема о единственности множества вещественных чисел, сформулированная на стр. 83, оказывается неверной - но каждый раз по разным причинам.

Замечание 1. Приведённые аксиомы допускают вырожденный объект - множество, состоящее из одного элемента 0, с однозначно определёнными операциями и порядком.

Замечание 2. Допустим, что мы добавили к списку аксиом то, что множество неодноэлементно. Тогда сомнения начинают вызывать аксиомы порядка (14 и 15). Рассмотрим множество вещественных чисел [tex]{\mathbb R}[/tex] с таким порядком:

[tex]x \leqslant_* y \Leftrightarrow |x| \leqslant |y|[/tex] или [tex](|x|=|y|[/tex] и [tex]x \leqslant y)[/tex]

Мне кажется, что это снова будет структурой, удовлетворяющей всем аксиомам, но изоморфной обычным вещественным числам она не будет.

Замечание 3. Если же мы изменим и аксиомы порядка, например, заменив аксиому 14 на [tex]x \leqslant y \Rightarrow x+z \leqslant y+z[/tex], то всё равно единственности не будет из-за существования неархимедовых упорядоченных полей.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пн окт 26, 2009 1:35 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Pavel E. Alaev писал(а):
Замечание 1. Приведённые аксиомы допускают вырожденный объект - множество, состоящее из одного элемента 0, с однозначно определёнными операциями и порядком.

Согласен. Следовало добавить [tex]1\neq 0[/tex].
Pavel E. Alaev писал(а):
Замечание 2. Допустим, что мы добавили к списку аксиом то, что множество неодноэлементно. Тогда сомнения начинают вызывать аксиомы порядка (14 и 15). Рассмотрим множество вещественных чисел [tex]{\mathbb R}[/tex] с таким порядком:

[tex]x \leqslant_* y \Leftrightarrow |x| \leqslant |y|[/tex] или [tex](|x|=|y|[/tex] и [tex]x \leqslant y)[/tex]

Мне кажется, что это снова будет структурой, удовлетворяющей всем аксиомам, но изоморфной обычным вещественным числам она не будет.
Это моя существенная ошибка. Проще всего исправить так как Вы предложили.
Pavel E. Alaev писал(а):
Замечание 3. Если же мы изменим и аксиомы порядка, например, заменив аксиому 14 на [tex]x \leqslant y \Rightarrow x+z \leqslant y+z[/tex], то всё равно единственности не будет из-за существования неархимедовых упорядоченных полей.

Архимедовость поля будет следовать из аксиомы непрерывности.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пн окт 26, 2009 1:54 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В.П. писал(а):
Архимедовость поля будет следовать из аксиомы непрерывности.

Да, правда. Замечание 3 снимается.

Мне подумалось, что если у нас неархимедово упорядоченное поле (которое существует), то мы всегда сможем достроить его до поля, образованного сечениями, и получить упорядоченное поле уже с аксиомой непрерывности. Кажется немножко странным, что это не так.

Я как раз занимался обоснованием этой конструкции (не вполне успешно :)), когда получил полезное сообщение В.П.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пн окт 26, 2009 3:01 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Pavel E. Alaev писал(а):
Я как раз занимался обоснованием этой конструкции...

Если Вас интересует эта тематика, то не будите ли Вы так любезны, чтобы посмотреть главу про неархимедовы поля во второй (ещё не опубликованной) части нашего задачника http://math.nsc.ru/~potapov/zadach2S.pdf


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 12:35 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В.П. писал(а):
Pavel E. Alaev писал(а):
Я как раз занимался обоснованием этой конструкции...

Если Вас интересует эта тематика, то не будете ли Вы так любезны ...

Если бы меня интересовала эта тематика, я бы не стал обосновывать эту конструкцию, так как заранее знал бы ответ. :) Но главу я посмотрел, решил несколько задач. Не все из них показались мне простыми.

Единственное замечание - в этой главе я обнаружил все признаки запущенной нулефобии, то есть откровенного нежелания признавать нуль полноценным и заслуживающим уважения элементом поля. В определении нормы на поле (стр. 205) она действует в множество [tex](0,\infty)[/tex], хотя на 0 равна нулю. В задаче 26.3 нулю отказано в праве называться элементом поля, точно так же в задаче 26.8 нуль демонстративно исключён из сообщества рациональных чисел. И есть основания полагать, что список далеко не полон!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 12:43 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Но зато у меня есть другое замечание, из более знакомой мне области. В первой части задачника, на стр. 5 присутствует следующее любопытное определение множества.
Цитата:
Множеством называется произвольная совокупность объектов, называемых элементами этого множества.

Определение снабжено сноской.
Цитата:
Здесь и далее мы будем исходить из "наивных" представлений о множествах. Логических парадоксов, которые возникают при таком определении, можно избежать, поскольку все множества, рассматриваемые нами в дальнейшем, определяются формально и являются частью некоторого "правильно определённого" множества.

Я такой подход встречал не единожды: выражаясь грубовато, но наглядно, он состоит в том, что пусть себе логики развлекаются со своими множествами-художествами, а мы заведём одно большое множество U, будем считать, что все наши множества - подмножества этого U, и нам этого хватит.

С одной стороны, это звучит не так уж бессмысленно, поскольку основные задачи мат. анализа связаны с множеством вещественных чисел R и некоторыми производными объектами, и указанное U в принципе можно попробовать определить.

С другой, рассмотрим один пример. На стр. 129 во второй части даётся определение топологии на произвольном множестве X. Дав это определение, мы можем задаться вопросом: верно ли, что на каждом множестве X можно задать топологию? Похожая задача сформулирована под номером 22.1. С одной стороны, ответ очевиден: нужно задать на X топологию [tex]\tau[/tex], состоящую из двух множеств, пустого и X. С другой, если в качестве X мы возьмём U (нашим определением множества это не запрещено), то для него ответ будет отрицательным: множество [tex]\tau[/tex] также должно быть подмножеством U, но тогда U окажется своим собственным элементом. Такой вариант, в принципе, можно и допустить, но тогда вопрос о том, можно ли назвать U "правильно определённым" множеством, приобретёт некоторую пикантность.

Если этот пример недостаточно убедителен, можно привести ещё один. В главе 4 на стр. 22 приведена теорема, которая говорить о множестве подмножеств произвольного множества A. Её формулировка подразумевает, что для любого множества A у нас существует множество P(A). Рассматривая A=U, мы, как и выше, получим, что любое подмножество множества U является его элементом. Это позволяет нам воспроизвести парадокс Рассела для U: рассмотрим
[tex]U' =\{ x \in U \mid x \not\in x \}\text{.}[/tex]
Это множество будет подмножеством U, следовательно, будет его элементом, и мы можем задаться вопросом, верно ли, что [tex]U'\in U'[/tex]. Разбор двух вариантов ответа приведёт нас к противоречию.

Мне кажется, что тезис об успешном избегании логических парадоксов может в данном случае быть поставлен под сомнение.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 1:18 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Pavel E. Alaev писал(а):
Но зато у меня есть другое замечание, из более знакомой мне области. В первой части задачника, на стр. 5 присутствует следующее любопытное определение множества.
Цитата:
Множеством называется произвольная совокупность объектов, называемых элементами этого множества.

Снимается ли недоразумение, если сказать, что множествами нужно называть такие совокупности, которым разрешено быть элементами других совокупностей?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 10:04 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Pavel E. Alaev писал(а):
Но главу я посмотрел, решил несколько задач....

Спасибо. Как Вы знаете мы сразу же исключили 0 из множества натуральных чисел, куда он коварно пролез благодаря Н.Бурбаки. Видимо пришла пора исключить 0 и из множества рациональных за плохое поведение :)

Согласен, что формулировки некорректные: определять нечто сначала нечто для всех рацональных чисел, а потом отдельно по-другому для нуля неправильно. Исправим. И в определении нормы опечатка.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 10:29 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Pavel E. Alaev писал(а):
Но зато у меня есть другое замечание, из более знакомой мне области. В первой части задачника, на стр. 5 присутствует следующее любопытное определение множества.
Цитата:
Множеством называется произвольная совокупность объектов, называемых элементами этого множества.

Определение снабжено сноской.
Цитата:
Здесь и далее мы будем исходить из "наивных" представлений о множествах. Логических парадоксов, которые возникают при таком определении, можно избежать, поскольку все множества, рассматриваемые нами в дальнейшем, определяются формально и являются частью некоторого "правильно определённого" множества.

Я такой подход встречал не единожды: выражаясь грубовато, но наглядно, он состоит в том, что пусть себе логики развлекаются со своими множествами-художествами, а мы заведём одно большое множество U, будем считать, что все наши множества - подмножества этого U, и нам этого хватит. .

Вы правильно отметили наше желание воздать "богу богово" и больше с высокими материями не связываться. Действительно, если прямо следовать процитированной сноске, то каждое дальнейшее высказывание должны быть о множествах какого-либо конкретного конструктивного происхождения, а не о просто множествах, как в приведённых Вами примерах.
Как Вам такая формулировка:
Понятие множества формально определяется в теории множеств (ссылка), ему соответствует интуитивное представление о некоторой совокупности объектов, называемых элементами множества.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 10:35 am 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Пт мар 13, 2009 6:08 am
Сообщения: 208
В.П. писал(а):
...0 из множества натуральных чисел, куда он коварно пролез благодаря Н.Бурбаки.


А каким образом это произошло, если не секрет?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб окт 31, 2009 8:57 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В.П. писал(а):
Как Вам такая формулировка:
Понятие множества формально определяется в теории множеств (ссылка), ему соответствует интуитивное представление о некоторой совокупности объектов, называемых элементами множества.

Я боюсь, что слова о том, что понятие множества "определяется в теории множеств" были ли грубым искажением реальности. Определение множества науке не известно.

Кратко, эта идея
В.П. писал(а):
... каждое дальнейшее высказывание должно быть о множествах какого-либо конкретного конструктивного происхождения, а не о просто множествах

состоит в том, что мы рассматриваем некоторый класс K ("класс множеств конструктивного происхождения"), но его прямого определения не даём. Примерно так, на мой взгляд, дело обстоит и в теории множеств. То есть корректная формулировка могла бы звучать так.
Цитата:
Одним из фундаментальных понятий в математике является понятие множества. Любое множество является некоторой совокупностью объектов, которые называются его элементами. К сожалению, попытки назвать множеством любую мыслимую совокупность объектов приводят к некоторым логическим противоречиям, а формальное определение множества является трудной проблемой. По этой причине мы не даём этого формального определения, считая, что в нашем распоряжении есть некоторый широкий класс множеств, достаточный для наших целей, элементы которого мы и будем ниже называть множествами.

В сноске же можно добавить, что
Цитата:
Те операции над множествами, которые мы используем, являются законными в силу того, что класс множеств обладает некоторым набором необходимых нам свойств и замкнут относительно ряда преобразований. Точное определение этих свойств и преобразований может быть дано, например, в рамках аксиоматической теории множеств ZFC.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср ноя 04, 2009 12:42 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт сен 27, 2002 12:04 pm
Сообщения: 1626
Откуда: Илья Марьясов
В.П. писал(а):
мы сразу же исключили 0 из множества натуральных чисел

Ох уж эта holly war на тему 0... Помню мы на 1 курсе даже классифицировали лекторов по принципу ответа на вопрос "А вы считаете 0 натуральным числом?" Ещё более было удивительно, что где-то на 2 курсе (к сожалению, не помню на какой лекции и какого лектора) доказательство какой-то теоремы методом от противного в итоге было сведено к тому, что 0 — ненатуральное число.

Изивините, что не по теме.

_________________
16*arctg(1/5)-4*arctg(1/239)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср ноя 04, 2009 7:17 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
IVM писал(а):
В.П. писал(а):
мы сразу же исключили 0 из множества натуральных чисел

Ох уж эта holly war на тему 0...

У меня есть ощущение, что желание включить 0 в натуральные числа возникает у тех, кто пытается смотреть на всё здание математики сразу, не ограничиваясь отдельной отраслью. Когда глядишь издалека, хочется, чтобы это здание выглядело стройным и единообразным, а у натуральных чисел с нулём есть очень естественная интерпретация - это мощности конечных множеств.

Может быть, этим объясняется интерес к нулю как у логиков, так и у Н.Бурбаки? Если же начать выкидывать, то почему бы не выкинуть и 1? Тоже довольно дурацкое число. Набор из одного предмета никому на придёт в голову "пересчитывать".


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср ноя 04, 2009 8:46 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Pavel E. Alaev писал(а):
Если же начать выкидывать, то почему бы не выкинуть и 1? Тоже довольно дурацкое число.

Причина "выкидывания" утилитарная. Хочется, чтобы наиболее часто встречающееся множество обозначалось одной буквой. Конечно, чаще всего можно сдвинуть нумерацию и начинать последовательность с нулевого элемента. Но уже функции от нуля переменных (константы) в большинстве случаев из общих формулировок выпадают.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб фев 13, 2010 9:20 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Выложена на сайт последняя редакция сборника задач 1-й семестр, в которой устранены опечатки, неточности и ошибки обнаруженные при использовании задачника по назначению. http://math.nsc.ru/~potapov/zadach1S.pdf

Выложена на сайт сданная в печать корректура сборника задач 2-й семестр
http://math.nsc.ru/~potapov/zadach2S.pdf
Исправлять теперь поздно, но критиковать всегда вовремя.

Если кто скачивал сборники, прошу заменить на свежие версии.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [Bot] и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB