НГУ

5. Пусть - кривая класса в , такая что для
касательного вектора в произвольной точке кривой справедливы равенства ,
для всех ортов . Докажите, что , где - начало и конец кривой .

6. Докажите, что площадь графика функции класса можно вычислить по формуле , где - двухгранный угол между плоскостью и касательной плоскостью к графику в точке .

7. Пусть и для любого . Докажите, что если для любого выполнено равенство , то .

С нормой в правой части неравенства всё понятно. А что за модуль в левой?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Поправил.

Позволю себе съязвить. Типо, комплексные числа.

Следующая часть - задачи по теории дифференциальных форм.

1. Пусть линейно независимые внешние 1-формы в . Докажите, что 2-формы при линейно независимы.
2. Пусть и для всех , имеем , где --- полуокружность . Докажите, что и .
3. Докажите, что интегралы от замкнутых 1-форм по гомотопным путям равны.
4. Докажите, что любая замкнутая 1-форма на является линейной комбинацией точной формы и формы Гаусса.
5. Пусть отображение класса удовлетворяет следующему свойству . Докажите, что отображение сохраняет -мерные объёмы тел.
6. Пусть 2-форма определена на открытом множестве , --- лист Мёбиуса. Докажите, что найдётся такая точка , что равна нулю на .

7. Пусть --- открытое множество и --- дифференцируемое многообразие. Пусть для каждого и для каждого , где --- нормаль к . Докажите равенство .
8. Пусть --- грани многогранника в . Докажите, что , где --- расстояние от центра координат до грани , --- знак скалярного произведения внешней нормали к грани и радиус вектора.
9. Вычислите интеграл по внешней поверхности тела, заданного двумя неравенствами
, .
10. Пусть открыто в , --- замкнутый шар в и отображение класса есть диффеоморфизм на . Известно, что состоит из двух компонент связности: ограниченной и неограниченной (теорема Жордана). Докажите, что .
11. Пусть дифференциальная -форма в . Доказать, что тогда и только тогда, когда для любого компактного ориентируемого дифференцируемого -мерного многообразия справедливо равенство .
12. Известно, что уравнение имеет решение для любой финитной (с компактным носителем) функции . Доказать, что любое финитное векторное поле можно представить в виде суммы .

Известно, что с помощью дифференциальных форм можно доказывать многие классические теоремы, формулировки которых не содержат не только форм но даже интегралов: Брауэра, Жордана, о существовании комплексного корня многочлена, изопериметрическое неравенство. К этому списку можно добавить теорему Коши о проекциях.
Теорема. Для любого выпуклого ограниченного множества в с кусочно гладкой границей справедливо равенство
, где --- мера Хаусдорфа, --- средняя площадь проекции
множества на плоскость, а --- единичный шар. Конечно .

Для доказательства теоремы Коши с помощью теории дифференциальных форм нужно предварительно решить задачу.

Пусть --- выпуклое множество в с кусочно
гладкой границей, и --- проектирование на плоскость перпендикулярную вектору . Пусть . Докажите равенство , где --- внешняя нормаль к .

Из этой фразы может создаться впечатление, что эти доказательства оптимальные. По моему мнению, это так только в отношении теоремы Брауэра о неподвижной точке. Что касается теоремы Брауэра об инвариантности области и (равносильной ей что нетрудно показать) теоремы Жордана о том, что поверхность, гомеоморфная (n-1)-сфере, разделяет R^n
на 2 компоненты связности, то думаю, что даже в случае n=1 двухгодичного курса анализа даже с формами недостаточно.

А вообще, диф.формы давно вошли в язык современного анализа, геометрии и т.д. А на ММФ НГУ их знают не все преподаватели (в т. числе и доктора наук), что говорит о них плохо ( о преподавателях, а не о формах).

Да, чтобы доказать эту теорему для гомеоморфа окружности нужны тонкие методы алгебраической топологии. Однако, в частном случае замкнутой гладкой кривой имеется гораздо более простое доказательство, использующее интегрирование формы Гаусса по этой кривой.
Красивые на мой взгляд доказательства теоремы о корнях многочлена и изопериметрического неравенства имеются в учебниках мат. анализа Решетняка (кн.2, т.1) и Зорича (т.2) соответственно.

возможно, оффтопик, но уважаемый В.П., почему бы вам для первого курса тоже задачек не попридумывать? вы же теперь не ведёте, так что все равноправны )

Надо было не отчисляться

надо было. но что поделаешь, жизнь вообще сложная и жестокая штука)

Да я знаю, тут должно было быть trololoface.jpg

Вам этих недостаточно?
http://math.nsc.ru/~potapov/zadach2S.pdf

ну это совсем не то!