НГУ

а произвольная функция [tex]f:R\rightarrow R[/tex] обладает ли тем свойством, что является непрерывной хотя бы в одной точке?
теория меры, почти-всяких почти-верных почти-утверждений и прочие сопряжённые функаны у меня были давно, поэтому вот спрашиваю.

Если вопрос не точный, можете уточнить его сами, как хотите.

спасибо)

Возьмите, например, функцию Дирихле равную 1 во всех рациональных точках и 0 во всех иррациональных. Она будет разрывна в любой точке, причём все разрывы будут даже второго рода.

А вот, кстати, возник у меня вопрос: какова мощность множества таких функций (т.е. разрывных в каждой точке)? Везде непрерывных функций континуум, это несложно показать воспользовавшись всюду плотностью рациональных чисел, а с функциями с некоторыми патологиями в непрерывности не ясно что делать...

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...

Что-то кажется, [tex]2^R[/tex]. Их не меньше, чем функций всего (из почти каждой функции сотворить разрывную в каждой точке добавлением функции Дирихле).

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.

ой, я неправильно выразился. Под "произвольной функцией" я имел ввиду "случайно выбранную функцию".

Т.е. вас интересует вероятность?
В таком случае, если я прав в оценке числа везде разрывных функций (могу ошибаться), то вероятность случайно выбрать функцию хоть в одной точке непрерывную равна 0

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.

то есть Вы хотите сказать, что почти каждая функция хотя бы где-то да непрерывна? иначе зачем к ней добавлять функцию Дирихле?

да.

Это из каждой непрерывной прибавлением функции Дирихле получаем разрывную. Почти всюду непрерывных, даже почти всюду равных 0 уже [tex]2^R[/tex] т.к. канторово множество континуально.

Вообще-то вопрос об оценке мощности везде разрывных функций для вероятностных нужд, скорее всего, бесполезен, т.к. Вы хотите оценить вероятность события "функция является непрерывной хотя бы в одной точке". А вот его вероятность определяется соответствующей мерой в пр-ве [tex]R^R[/tex]. Учитывая, что в этом пр-ве вводится цилиндрическая [tex]\sigma[/tex]-алгебра, то я не уверен, что это событие, вообще, является событием, т.е. элементом этой [tex]\sigma[/tex]-алгебры, т.е. это множество может вполне оказаться не измеримым... Это надо к хорошим специалистам по ТВ обратится, может они и сразу знают ответ.

TO В.П. Простите, не понял про континуальность канторова множества и мощность описанных Вами функций. Можно чуть подробнее...

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...

Если множество континуально, то множество функций на нём имеет мощность [tex]2^R[/tex]. Дополнение к канторову множеству открыто, определим на нём функцию тождественным нулём.

Не зря мне 3 за матан поставили =).

А вообще, я вдруг понял, что оценивать вероятность события через мощность множества разумно только в конечном случае. Потому как даже для натуральных чисел, и чётных, и нечётных столько же, сколько чисел всего, а вероятность случайно выбрать чётное число равна 0.5.

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.

Так Вы и до понятия меры скоро дойдёте

Более интересная задача - охарактеризовать подмножества [tex]\mathbb{R}[/tex], являющиеся множествами точек разрыва функций из [tex]\mathbb{R}[/tex] в [tex]\mathbb{R}[/tex]. Естественно, подразумевается, что функции должны быть определены на всех действительных аргументах.

Несколько лет назад, кажется, уже обсуждалось. Только тему вряд ли вспомню. А задача вроде нетривиальная, и у таких множеств даже какое-то специальное название есть

P. S. Что за обозначение [tex]2^R[/tex]? Подозреваю, имелось в виду [tex]2^c = 2^{|\mathbb{R}|} = |2^\mathbb{R}|[/tex]

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Само понятие "случайно выбранного натурального числа" весьма подозрительно и нуждается в основательной формализации!

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

[tex]\lim_{N \rightarrow \infty}P\{random\{N\} = 0\,mod\, 2\}[/tex] где [tex]random\{N\}[/tex] - истинно случайная функция, возвращающее случайное натуральное число, не большее [tex]N[/tex].

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.

Бр-р-р...

Я, конечно, многое успел забыть, в связи с чем в упор не понимаю написанное? В частности, не понимаю, что такое "истинно случайная функция".

Что такое случайная величина --- помню. Эта функция из вероятностного пространства в [tex]\mathbb{R}[/tex], у которой прообраз любого борелевского множества измерим. Наша же "истинно случайная функция" [tex]\psi_N = random\{N\}[/tex] имеет зависящее от [tex]N[/tex] множество значений, так что это, похоже, целая последовательность случайных величин. Зависимых или независимых --- не ясно, да и смысла выяснять сей факт нет никакого. Всё равно из последовательности "случайное натуральное число" не вытащить!

P. S. Ну нельзя ввести на счётном множестве равномерно распределённую случайную величину! Счётная аддитивность нарушается, да и конечная тоже

Помню, пытался делать так. Рассматриваем множество упорядочений натурального ряда, изоморфных стандартному [tex]\langle \mathbb{N}, \leqslant \rangle[/tex]. Оно уже континуально и там уже можно ввести нормальную вероятностную меру (типа множество всех порядков, начинающихся с фиксированного [tex]p_0 < p_1 < \ldots < p_k[/tex] имеет меру [tex]1/2^{k+1}[/tex], далее продолжаем по аддитивности и пополняем...) Для какой-то конкретной задачи хорошо получилось, но для общих целей всё равно не катит

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind