НГУ

вот если есть какой-нибудь тригонометрический многочлен от двух переменных

,

то обычно уравнение определяет кривую на плоскости . А поскольку периодична по обоим аргументам, то эту кривую достаточно рассмотреть только на квадрате , из этой же периодичности следует, что квадрат можно считать тором.

так вот, кто-нибудь знает какую-нибудь теорему о расположении этой кривой на торе? там число компонент связности, может ли она быть гомологичной нулю и т.д.

В такой общей формулировке вряд ли что-то прояснится. Если, например, зафиксировать x и менять у, то это будет соответствовать движению по параллели (или меридиану, если наоборот). Тогда у вас получается тригонометрическое уравнение от неизвестного х и его решения -- это те значения у, при которых наша параллель пересекает кривую. Даже решение такого тригонометрического уравнения от одной переменной непонятно что из себя представляет.

С другой стороны, если степени k,l,m,n чётные, то эта кривая, на самом деле, лежит в некоторой плоскости (т.к. квадраты косинусов и синусов связаны аффинным соотношением cos^2+sin^2=1) а тогда задача становится существенно легче. Такая кривая, если рассматривать её как зависящую от Х=cos^2x и Y=cos^2y, например, будет алгебраична. Для плоской алгебраической кривой задача о числе компонент связности, вроде, решена
(теорема Харнака). Но тут вам придётся отбросить компоненты, соответствующие значениям X>1 или X<0>1, или Y<0.

Далее, кривая от X и Y это всё-таки не то же самое, что вам надо, вам придётся ещё корень извлечь из координат, что удвоит число связных компонент, или "почти" удвоит. В общем, поковыряться придётся.