НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Пн сен 23, 2019 10:47 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2011 3:29 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
x называется множеством, если

Предвкушая вопросы зануд: понятия теории и вывода можно дать на языке контекстно-свободной грамматики, которая, в свою очередь, есть буковки и стрелочки, которые, в свою очередь, суть неопределимые понятия.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2011 3:48 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Alexandr писал(а):
x называется множеством, если

Предвкушая вопросы зануд: понятия теории и вывода можно дать на языке контекстно-свободной грамматики, которая, в свою очередь, есть буковки и стрелочки, которые, в свою очередь, суть неопределимые понятия.

Предвкусить не удалось.

Т.к. вопрос был:
Цитата:
В связи с недавними дискуссиями: коллеги, особенно ведущие занятия на 1-м курсе, если вам нужно порассуждать перед студентами о том, что такое множество в современной математике, вы какие слова говорите?


Вот этим самым да по голове первокурсника? :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2011 4:19 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Гост_Я писал(а):
В.П. писал(а):
это совокупность объектов, принадлежность к которой может быть формально математически определена.
Здесь не указано, про принадлежность чего к этой совокупности идёт речь. Также не указана "природа" объектов - это физические объекты (яблоки, стулья, как для таких формально математически определять?), или вымышленные математические объекты.

Принадлежность объектов множеству естественно. Объекты по умолчанию математические, иначе как формально определять их принадлежность. Множество яблок как и линия судьбы, сфера услуг или открытая дверь не рассматриваются.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2011 6:28 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Гост_Я писал(а):
по голове первокурсника?

Я уже точно не помню, но по-моему ZFC проходят в конце второго семестра. Иначе, нужно заменить до поры это определение на неформальное объяснение типа: ``Существует аккуратное определение множества, использующее чёткие синтаксические конструкции, напоминающие слегка языки программирования. Меньше, чем через год, вы все его узнаете. А пока, представляя множество, имейте в виду все примеры множеств, которые знаете, и всю лабуду, которую где-то слышали про множества (вроде совокупностей объектов), кроме той, что это понятие неопределимо. Помните главное: неопределимым понятием множество считают только самые унылые из матанщиков. С определением множества столько же проблем, сколько с определением интеграла, даже меньше.''

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 09, 2011 10:53 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Гост_Я писал(а):
Понятие "рассматривать как единое целое" нуждается в ничуть не меньшем разъяснении, чем понятие "множество", поэтому нечего огород городить.

Мне кажется, это просто удобный оборот речи, который немного проясняет дело: можно говорить о мешке картошки как о едином целом (новом объекте), а можно о каждой картофелине в отдельности.

Википеддя (вольготна всезнайка) писал(а):
арава - самошырна врубка математики и олупки, не зя йо никак пределить

В переводе с вольготного: "множество - наиболее общее понятие математики и логики, которое невозможно определить". Более пространные статьи на русском и английском также солидарны в том, что множество является неопределяемым понятием.

Если понятие неопределяемое, то логично считать, что про него допустимы разные мнения. С другое стороны, не вполне ясно, что же лучше говорить студентам.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 7:45 am 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Пт мар 17, 2006 12:27 pm
Сообщения: 263
Pavel E. Alaev писал(а):
Если понятие неопределяемое, то логично считать, что про него допустимы разные мнения. С другое стороны, не вполне ясно, что же лучше говорить студентам.

Вот в этом месте возникает простой вопрос: позволительно ли в таком случае и студентам иметь своё мнение о том, что такое множество? Иначе говоря, какие именно ответы попадают в множество ответов, принимаемых преподавателем как верные? Да ещё и преподавателей тоже множество, хотя и счётное...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 8:11 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб апр 02, 2005 4:34 pm
Сообщения: 83
Откуда: Игорь Д.
ну, обычно всем становится понятно после того как скажут, что - множество, - множество (действительных чисел), , расскажут, как сравнивать множества, расскажут что , и приведут пример объекта того же типа, но не являющегося множеством (обычно на примере парадокса Рассела). А про ZFC обычно упоминает (не рассказывает подробно, но упоминает) на первых же лекциях кто-нибудь.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 9:36 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Вт авг 29, 2006 4:53 am
Сообщения: 443
Откуда: Кирилл Василевский
Chilik писал(а):
Вот в этом месте возникает простой вопрос: позволительно ли в таком случае и студентам иметь своё мнение о том, что такое множество?
Вооот-вот-вот, вот здесь и вылезает самый интересный момент. Из-за неизбежного наличия неопределяемых понятий такой общественный институт как наука (и математика) в конечном итоге точно так же сводится к отношениям авторитета, власти и т. п., как и любой другой :) Студент имеет какое-то представление о том, что такое множество, преподаватель тоже имеет какое-то своё - и не факт, что они совпадают. Правота либо неправота студента по каждому конкретному случаю, является ли вот это множеством или нет, определяется лишь только согласием его интуиции с интуицией преподавателя.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 5:24 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Разнообразие ответов выше определённо показывает нам, что с хорошей, ясной и общепринятой концепцией множества в математике есть проблемы. Впрочем, это и так хорошо известно. Не знаю, кому как, а мне эта проблема не даёт покоя что-то около 20 лет, до этого я про множества мало чего знал.

У меня ещё один вопрос (этнографическое исследование, будем считать, частично проведено). Допустим, что мы введём понятие мини-множества следующим образом.

Шаг 1. Определяем понятие множеств конечного ранга так: множество ранга 0 только одно - пустое множество; множество имеет ранг n+1, если любой его элемент является множеством ранга не более n, и в нём есть хотя бы один элемент ранга n.

Легко посчитать, что множеств ранга не более n будет 2^n, все они вполне конструктивно строятся и описываются, например, через конечные деревья высоты n. Тем самым совокупность всех множеств конечного ранга является достаточно ясным объектом. Обозначим его Vf.

Шаг 2. Построим последовательность так:
,
,
где P(A) - множество всех подмножеств множества A. Скажем, что A является мини-множеством, если A является подмножеством для некоторого натурального числа n.

Если мы вообще выкинем из математики понятие множества, заменив его на мини-множество, то что именно математика потеряет? Судя по немного загадочному посту здесь, ХОЗЯИН_КЛЕЯ работает где-то в непрерывной математике - часто Вам приходится сталкиваться с совокупностями, которые не являются мини-множествами?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 8:53 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
К моему последнему вопросу надо бы сделать несколько комментариев. Чтобы он стал более ясным, нужно указать интерпретацию основных математических понятий (как это обычно делается в теории множеств). Будем записывать как Pn(Vf).

Ничего нового не предлагается: интерпретируя натуральные числа по формуле 0 = {} и n+1 = {0, 1, ..., n}, мы получим, что все натуральные числа - множества конечного ранга, и то же самое касается их пар, троек и т.д. Рациональные числа, которые задаются как классы троек натуральных, будут подмножествами Vf, то есть элементами P1(Vf). Упорядоченные пары вида
(n,q) = {{n}, {n,q}},
где n - натуральное, q - рациональное, попадут в P3(Vf), последовательности Коши - в P4(Vf), их классы, через которые можно определить вещественные числа - в P5(Vf). Точно так же подмножества R будут лежать в P6(Vf), функции из R в R - в P8(Vf), и т.д.

И поправка: чтобы определение выше было корректным, нужно считать, что
,
.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 9:35 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб апр 02, 2005 4:34 pm
Сообщения: 83
Откуда: Игорь Д.
логичен вопрос. что такое (Vf) ?

и второй вопрос: по-моему, мы построили нашу теорию мини-множеств, используя теорию обычных множеств. как мы можем избавиться от неё? и если мы избавимся от неё, как мы определим, является ли что-то мини-множеством или нет?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 9:42 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
ignored писал(а):
логичен вопрос. что такое (Vf) ?

Видимо, это первый вопрос, который должен возникнуть у квалифицированного читателя. :) (Vf) не является мини-множеством. Если мы под "множеством" хотим понимать именно мини-множество, то получим тезис "(Vf) не существует". Вопрос, теряет ли при этом математика что-то действительно ценное.

P.S. Слова выше имеют смысл, если мы принимаем обычное определение:


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 10:10 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
ignored писал(а):
и второй вопрос: по-моему, мы построили нашу теорию мини-множеств, используя теорию обычных множеств. как мы можем избавиться от неё? и если мы избавимся от неё, как мы определим, является ли что-то мини-множеством или нет?

Мне кажется, что по существу мы никак не использовали общую теорию множеств. Vf является совокупностью очень просто и ясно определённых объектов, это уровень, грубо говоря, подготовительной группы детского сада. Некоторые вопросы может вызвать, например, P(Vf). Но тут можно обойтись самым исходным, канторовским понятием множества: элементами P(Vf) являются все мыслимые совокупности, удовлетворяющие единственному условию: любой их элемент является элементом Vf. Ничего большего нам вообще не нужно.

Тем самым мы можем излагать теорию мини-множеств, ни слова не говоря о множествах вообще.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 10, 2011 10:47 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб апр 02, 2005 4:34 pm
Сообщения: 83
Откуда: Игорь Д.
только всё равно мы пришли к выводу, что наши минимальные объекты - типа пустого или конечного мини-множества - это неопределяемые объекты, потому что "и первокласснику понятно" ))) но потом получается, что нам нужны аксиомы выделения, объединения, пары, итд, способ показать что элемент лежит во множестве.. (я имею в виду, аксиоматически описать).. да и вообще говоря даже представить себе элемент мини-множества P7(Vf) не очень просто )

P.S. вообще возможно, что вообще все множества ("обычные") являются мини-множеством. Можно пример объекта, который является множеством, но не является мини-множеством?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб июн 11, 2011 3:09 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
ignored писал(а):
только всё равно мы пришли к выводу, что наши минимальные объекты - типа пустого или конечного мини-множества - это неопределяемые объекты

Что пустое множество - существенно неопределяемое понятие, я бы не согласился. Единичный объект, все свойства которого предельно ясны, не содержит в себе ничего такого, что требовало бы существенных определений или объяснений. Но Вы правы, что совсем без неопределяемых понятий мы не обходимся: например, когда речь идёт о множествах конечного ранга, первичным и неопределяемым понятием является "конечный". Более точно, нам нужно понятие "конечного числа шагов", так как множество конечного ранга может быть построено за конечное число шагов.

Но ZFC вообще не говорит, что такое множество! Понятие конечного числа шагов в качестве первичного неизмеримо яснее и проще, чем загадочное "множество".

ignored писал(а):
потом получается, что нам нужны аксиомы выделения, объединения, пары, итд.

Аксиомы полезны, так как они ясно говорят, что можно делать с множествами. Класс мини-множеств удовлетворяет всем аксиомам ZFC, кроме одной экзотической под названием "Replacement". В случае мини-множеств мы сначала объясняем, что такое множество, а потом дополнительно можем ясно кодифицировать законы работы с ними через аксиомы. ZFC просто сообщает нам о законах, мало что объясняя об объектах законов.

ignored писал(а):
представить себе элемент мини-множества P7(Vf) не очень просто

Пожалуй, P7(Vf) для подготовительной группы дет.сада будет перебором. :)

ignored писал(а):
Можно пример объекта, который является множеством, но не является мини-множеством?

Коль скоро в ZFC доказуемо существование , оно будет искомым объектом.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB