НГУ
http://forum.nsu.ru/

Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=18&t=22749
Страница 1 из 1

Автор:  bolbot [ Вс окт 23, 2011 1:05 pm ]
Заголовок сообщения:  Студенческая олимпиада НГУ по математике (23 октября 2011г.)

1. Некоторый многочлен степени с целыми коэффициентами принимает значения в различных точках. Можно ли его разложить в произведение многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?

2. Среди 29 разложенных в ряд монет имеется 3 фальшивые, причём известно, что они лежат подряд. Настоящие монеты имеют стандартный вес, а фальшивые какой попало, но легче настоящей. За три взвешивания на рычажных весах выявить все три фальшивые монеты.

3. Найти все действительные решения уравнения

4. В четырёхугольнике углы и прямые, а длины сторон и равны. На прямых и выбраны соответственно точки
и так, что . Докажите, .

5. Найти все действительные решения системы уравнений


3* Вычислить предел

4*. Существует ли такая биекция , при которой сходится ряд ?

5*. Векторное умножение на фиксированный вектор задаёт в трёхмерном вещественном пространстве линейное преобразование ,
переводящее любой вектор в ему ортогональный.
Доказать обратное утверждение: любое линейное преобразование , переводящее всякий вектор в ему ортогональный, представимо в виде для подходящего вектора .

Для 1-го курса задачи 1-5, для 2-4 курсов 1,2, 3*-5*.

Upd. В задаче 1 по недосмотру было пропущено условие, что эти 2011 точек целые. Можно рассмотреть оба случая - с этим условием и без него. Это будут разные задачи.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/