НГУ
http://forum.nsu.ru/

Обход по контуру
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=18&t=22767
Страница 1 из 1

Автор:  Коба [ Вс окт 30, 2011 4:11 am ]
Заголовок сообщения:  Обход по контуру

Как в анализе точно определяется обход по замкнутому контуру в положительном направлении?

Пусть для определённости дана непрерывная функция , для которой и которая инъективна на . Всегда ли можно утверждать, что эта кривая ограничивает некоторую область на плоскости? И что в точности означает фраза "при монотонном увеличении от 0 до 1 точка обходит контур в положительном направлении"?

Дифференцируемость не предполагается, так что об ориентации касательного базиса говорить затруднительно. Можно, в-принципе, посчитать, что плоскость комплексная, задать какую-нибудь аналитическую функцию с единственным вычетом, расположенным внутри ограничиваемой кривой области, посчитать контурный интеграл типа Коши с возрастанием параметра и по знаку этого интеграла сделать вывод о знаке направления обхода. Но что-то сильно сложно получается, к тому же я где-то слышал, что доказательство существования области, ограниченной замкнутой кривой, весьма нетривиально :(

Автор:  В.П. [ Вс окт 30, 2011 9:21 am ]
Заголовок сообщения: 

По-видимому речь идёт о теореме Жордана. В теореме утверждается, что замкнутая кривая Жордана (гомеоморфная окружности) делит плоскость на две несвязные области и одна из областей ограничена. Для окружности понятно, что значит обходить в положительном направлении. Если кривая гомотопна окружности, которая обходится в положительном направлении, то она тоже обходится в положительном направлении. Насколько я помню, гомеоморфизм с окружности может быть продолжен на всю плоскость, т.е устанавливается соответствие между внутренними и внешними областями.

Автор:  Cagnaccio [ Вс окт 30, 2011 11:51 am ]
Заголовок сообщения:  Re: Обход по контуру

Коба писал(а):
Дифференцируемость не предполагается, так что об ориентации касательного базиса говорить затруднительно.

но ведь можно рассмотреть дифференцируемую функцию f* сколько угодно близкую к f (теорема какого-нить Вейерштрасса, кажется), так что f* будет тоже инъективна, и задать ориентацию с помощью касательного базиса.

Автор:  Коба [ Вс окт 30, 2011 12:18 pm ]
Заголовок сообщения: 

На самом деле меня больше интересует возможное обобщение этого понятия на дискретный случай.

Ситуация подобна следующей. Допустим, у нас есть циклическая группа и элемент порождает эту группу. Тогда обходом группы, соответствующим элементу , назовём упорядоченную последовательность . Можно ли каким-нибудь разумным образом определить направление этого обхода. При условии, что мы договоримся считать обход для положительным, а обход для отрицательным.

Долго парился над всем этим делом, а потом подумал, что можно интерпретировать как группу комплексных корней -ой степени из единицы и при росте перейти к непрерывному аналогу - кратному обходу окружности. Хотя, конечно, всё это выглядит не слишком-то разумно и содержательно...

Автор:  Cagnaccio [ Вс окт 30, 2011 12:27 pm ]
Заголовок сообщения: 

Коба писал(а):
При условии, что мы договоримся считать обход для положительным, а обход для отрицательным.

а если n=2, то обход для 1 и отрицательный, и положительный?

Автор:  Коба [ Вс окт 30, 2011 12:46 pm ]
Заголовок сообщения: 

Cagnaccio писал(а):
а если n=2, то обход для 1 и отрицательный, и положительный?

Нулевой :)

Кстати, ещё один вопрос по ходу в плане общепринятой терминологии. Допустим, в где-то в пустоте валяется тор в виде бублика, а на него намотана спираль. Есть ли какое-нибудь соглашение насчёт того, какое направление обхода этой спирали следует считать положительным?

Пусть, например, функция из в имеет вид , где - натуральное и очень большое, а вещественное, положительное и очень маленькое. Можно ли считать, что при непрерывном росте точка обходит спираль в положительном направлении?

Автор:  К. Сторожук [ Вс окт 30, 2011 10:47 pm ]
Заголовок сообщения: 

Если бы было такое направление, то были бы и положительные направления прямых на плоскости.

Автор:  Cagnaccio [ Пн окт 31, 2011 9:43 am ]
Заголовок сообщения: 

Коба писал(а):
Допустим, в где-то в пустоте валяется тор в виде бублика, а на него намотана спираль.

я так понимаю, что вопрос об ориентации имеет смысл только тогда, когда петля на многообразии гомотопна нулю. То есть, вообще ориентацию придумали, чтобы написать однозначно формулу Стокса , а если петля не подходит для теоремы Стокса, то всё равно какое направление считать положительным, а какое отрицательным - главное, чтобы ориентации были противоположными.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/