НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср дек 13, 2017 6:16 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Вс мар 24, 2013 5:11 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 03, 2005 2:16 am
Сообщения: 22
Откуда: Т!M
Добрый день!

Пришлось столкнуться вот с такой задачкой. Надо исследовать вот такую функцию



Требуется найти область значений: желательно, конечно, чтобы это было , но и супремум тоже сойдёт. После этого еще нужно провести исследование на инъективность.

- полилогарифмическая функция, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC.

Получилось аналитически показать непрерывность в нуле и монотонность в некоторой его окрестности (т.е. аналитически показана биективность на некоем интервале ). Как быть с поведением на минус бесконечности, я пока не понимаю. Правило Лопиталя не особо помогает=)

Поэтому вопрос: есть ли какая-нибудь асимптотика у полилогарифмов и где про неё почитать?

Заранее спасибо.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн мар 25, 2013 4:48 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт ноя 29, 2005 6:34 pm
Сообщения: 1498
Да, асимптотика полилогарифма на отрицательной вещественной оси известна, онa следует из формулы


Непрерывность Вашей функции в нуле (и ее монотонность в окрестности нуля), соотносятся со следующей асимптотикой


Все эти формулы (и много других, которые могут быть Вам полезны) находятся в английской версии статьи, процитированной Вами. Попытайтесь использовать англоязычные источники, они более богаты информацией в настоящее время.

Книги:

Lewin, L. (Ed.) (1991). Structural Properties of Polylogarithms. Mathematical Surveys and Monographs. 37. Providence, RI: Amer. Math. Soc.. ISBN 0-8218-1634-9.

Zagier, D. (2007). "The Dilogarithm Function". In Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P. et al. (PDF). Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. Berlin: Springer-Verlag. pp. 3–65.

Первую хорошо использовать в качестве справочника. Вторая -- монография, раскрывающая много связей между дилогарифмами и другими специальными функциями, другими областями математики вообще. Она есть в свободном доступе на сайте автора http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 26, 2013 1:28 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 03, 2005 2:16 am
Сообщения: 22
Откуда: Т!M
Спасибо большое!

Из этой асимптотики, насколько я понял, следует ограниченность моей функции (а я так надеялся, что она неограниченная=)). Осталось достать упомянутые книги и понять, какой смысл имеет обозначение .

Буду исследовать биективность на область значений. Вдруг она хотя бы монотонная=)

На досуге дополню русскую страничку на вики материалами из английской версии, вдруг кому ещё пригодится.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 26, 2013 3:44 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт ноя 29, 2005 6:34 pm
Сообщения: 1498
shryke писал(а):
Oсталось достать упомянутые книги и понять, какой смысл имеет обозначение .


означает "функция aсимптотически ведёт себя как ..." (индекс означает по какому параметру берется асимптотика). если, конечно, это не был намёк на то что обозначение нестандартное :)

В связи с какой задачей у Вас возникла эта функция? :-?

Пополняя страничку на Википедии, Вы посылаете пользователям лучи счастья и добра. Спасибо. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 28, 2013 1:29 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Сб сен 03, 2005 2:16 am
Сообщения: 22
Откуда: Т!M
Akademovetz писал(а):
означает "функция aсимптотически ведёт себя как ..." (индекс означает по какому параметру берется асимптотика). если, конечно, это не был намёк на то что обозначение нестандартное :)

В два ночи не дотумкал погуглить определение, а сам сочинил два неэквивалентных. Теперь со всем разобрался.

Akademovetz писал(а):
В связи с какой задачей у Вас возникла эта функция? :-?

Как бы это объяснить, чтобы не переписать сюда весь текст будущего диссера=)

Если рассматривать уравнение Больцмана для статистики Ферми в


то решения имеют вид



функции , , - параметры.

Однако в некоторых рассуждениях, например, при получении гидродинамических пределов, удобнее использовать плотность и энергию:





После некоторых преобразований и гипотез можно получить, что

и


С точностью до замены переменных и мультипликативных констант, поиск f представляет из себя задачу из первого сообщения. Как мы уже выяснили, отображение определено не везде.

Вариант подобного анализа гидродинамических пределов для классического случая:
http://www.math.polytechnique.fr/~golse/Articles/BardosFGLevermore1991.pdf
Akademovetz писал(а):
Пополняя страничку на Википедии, Вы посылаете пользователям лучи счастья и добра. Спасибо. :)

а то)

_________________
X-НГУ


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 5 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: AkiporteziG, Amonmonabup, JosephCrort, NirvaxSon, Samueliks и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB