НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт окт 19, 2017 3:05 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Заброшенное
СообщениеДобавлено: Пн мар 22, 2004 2:58 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1922
Откуда: СССР
_________ Коллекция задач_________

Источники разные, в том числе и форумы. Чтобы не было бардака, тему закрываю - сюда буду постить только я.

Желающих предложить задачу прошу открывать новую тему. Прежнее предложение идти сюда снимаю - это было удобно для модератора и неудобно для остальных.

Кликая на Посмотреть решение вы отказываетесь от удовольствии (ну ладно, в некоторых случаях сомнительном) найти решение самому.

Решения буду писать по мере возможности, но не раньше, чем появятся отклики, иначе какой же интерес?

Группа А (попроще)

1. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 30 градусов, угол B равен 60 градусов. Определить угол C. :)
Посмотреть решение

2. Часов нет, но есть два фитиля и спички. Любой из фитилей сгорит ровно за 1 час, если его поджечь, но нет никакой гарантии, что половина фитиля сгорит за полчаса. Как отмерить ровно 15 минут? Ну очень нужно для некоторого процесса.
Посмотреть решение

3. Есть две комнаты, соединенные коридором. Из одной комнаты другую не видно. В одной комнате есть выключенная лампочка, в другой 3 выключателя, один из которых включает лампочку, а остальные нет. Вы находитесь в комнате с выключателями. По коридору вы можете пройти один раз. Определить, какой выключатель включает лампочку. На все 10 мин.
Посмотреть решение

4. Определить самый положительный корень уравнения:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0 :)
Указание

5. Доказать, что всякий треугольник можно разбить на 4 равнобедренных, а всякий остроугольный - на 3.
Посмотреть решение

6. Студент приходит на экзамен. Вместо билетов на столе лежит обыкновенный кирпич. Препод вручает студенту жесткую линейку с делениями и предлагает ему определить диагональ этого прямоугольного параллелепипеда (то есть наибольшее из расстояний между вершинами). За каждое измерение он снимает по одному баллу. Неприступивший к измерениям студент (=неявившийся) имеет 6 баллов. Ставьте себе оценки.
Посмотреть решение

7. Вопрос даже не в том, чтобы решить систему:
x-1=(y-1)t (1)
z-1=(t-1)y (2)
x(x-1)=zy(y-1) (3)
z(z-1)=xt(t-1) (4)
- есть очень короткий путь. Хорошо ли он спрятан?
Посмотреть решение

8. Попал человек на небеса, там двое ворот: одни в рай, другие в ад, и 2 архангела, один из которых всегда лжёт, другой говорит только правду. Человек может задать только один вопрос, причём не знает, кто из архангелов ему ответит. Он задаёт вопрос и узнаёт, где рай, а где ад. Какой вопрос задал человек?
Посмотреть решение

9. Решить уравнение: (tgx + c)tgx = tgx + ctgx :)
Посмотреть решение

10. У вас есть два мешочка и 10 монет, требуется разложить монеты так чтобы в одном мешочке было в 2 раза больше монет чем в другом... :)Посмотреть решение

11. К одному берегу реки подошли четверо.
Время переправки 1-го 1 час, второго - 2, третьего 5 и четвертого - 10 часов. Время переправки двоих равно максимальному времени переправки из тех, кто сидит в лодке, в лодке могут сидеть максимум двое, минимум 1. Требуется переправить всех за 17 часов.
Посмотреть решение

12. Предложил(а) slb:
a) (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) = ? :)
b) (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)...(z^2 + 1) = ? :)
c) (ln a - 1)(ln b - 1)(ln c - 1) ... (ln z - 1) = ? :)
d) sin\alpha*sin\beta*sin\gamma* ... *sin\omega = ? :)Посмотреть решение

13. Нашел мужик бутылку, открыл ее, а оттуда джин. Загадывай, говорит желание. Подумал мужик и выразил желание бессмертным стать. Есть, - говорит джин, - у меня такое средство - вот тебе два пузырька, в каждом ровно 50 таблеток. Каждый день будешь принимать две - ни больше ни меньше, строго по одной из каждого пузырька. Как выпьешь все 100 так и станешь бессмертным, остановишься раньше - загостившаяся теща у тебя навсегда поселится, а если что напутаешь в количествах - смерть немедленная. Взял мужик пузырьки и стал строго выполнять предписание джина, да не уберегся - однажды вынул из одного пузырька таблетку, а тут теща его под руку возьми и спроси, где это он и с кем надысь шлялся. Пока объяснялся - забыл мужик, что одну то он таблетку уже вынул и достал еще две из каждого пузырька. Смотрит теперь мужик на три таблетки и не знает, чего же ему таперича делать, что лучше - то-ли смерть немедленную принять, то-ли с тещей угол делить до конца дней ее, а она молодая еще! Помогите мужику, если сможете!!!
Посмотреть решение

14. На вершине отвесной скалы высоты 1000 метров стоит альпинист. У него есть нож и веревка длины 750 метров. На вершине скалы и посредине ее высоты вбиты прочные крюки. Может ли альпинист спуститься со скалы живым?
Посмотреть решение

15. Встречаются как-то два друга давно не виделись , разговорились:
- Ну что, как жизнь?
- Да вот, женился, родилось 3 сына. Произведение их возрастов равняется 36, а сумма - номеру дома напротив.
Друг посмотрел и говорит:
- Нет, этого не достаточно.
На что его друг отвечает:
- Ах да, забыл, старший сын весь в меня.
После этого его собеседник назвал возраст 3-х его сыновей.
Так сколько же лет детям?
Посмотреть решение

16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хорошая мысля приходит опосля (народная мудрость)
Когда Балбес стукнулся лбом о дерево, на часах было ровно 17 часов 10 минут.
А вот интересно,- подумал Балбес,- какой же угол сейчас образуют часовая и минутная стрелки?
А чего тут смотреть?

Группа Б (посложнее)

1. Что-то умников много развелось в султановом царстве. Пересажать бы их всех - кого на кол, кого в тюрьму. Вот только тюрьма переполнена - там и так больше сотни умников сидит. С них, пожалуй, и начнем. Собирает султан всех узников и объявляет:
- Завтра утром выстрою я вас в колонну в затылок друг другу и каждому на голову шапку одену - красную или синюю, у меня хоть тех, хоть других - на всех хватит. Каждый будет видеть шапки только всех впереди стоящих, кто оглянется - сразу на кол посажу. Потом, начиная с последнего начну спрашивать цвет его шапки. Кто ответит правильно - того отпущу, а кто нет - тех вечером на кол посажу. Спрашивают узники:
- Ну а если только один ошибется?
- Ну тогда, так и быть, и его помилую - отвечает султан.
Могут ли умники найти спасительную стратегию?

1а. То же самое, но шапок у султана в достатке k цветов.
Посмотреть решение

2. Найти все целочисленные решения уравнения
x^y = y^{x^2}
Комментарий

3. Колония неких организмов живет в квадратных клетках и размножается из года в год. Клетки примыкают одна к другой, как на шахматной доске или на листе клетчатой бумаги. Клетки считаются соседними, если у них есть общая граница. Таким образом, у каждой клетки не больше четырех соседей (ровно четыре, если поле бесконечно во все стороны, но может быть меньше, если клеток ограниченное количество). Один раз поселившись в какой-либо из клеток, организм уже никогда не умирает. Новые клетки заселяются по следующему закону: если в году t клетка была пустой, то в году t+1 она окажется заселенной в том и только в том случае, если у этой клетки в году t было не менее двух заселенных соседей. Немного похоже на "жизнь", но правила гораздо проще.
Вопрос заключается в следующем. Можно ли в поле 10 на 10 изначально засеять 9 клеток так, чтобы через некоторое количество лет оказалось засеянным все поле?
Комментарий

4. Доказать, что среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых между собой, либо попарно незнакомых.
Комментарий

5. Есть три вида вирусов - голубые, розовые и фиолетовые. Внутривидовая борьба отсутствует, но если встречаются два вируса разных видов, то их взаимная неприязнь так велика, что уничтожает обоих, но взамен рождает одного вируса третьего вида. Обкуренный лаборант смешал в одной пробирке эти вирусы в следущих количествах: голубые - 235, розовые - 431, фиолетовые - 666. На следующий день в пробирке оказались вирусы только одного цвета. Можно ли определить какого?
Комментарий

6. Найти все натуральные числа m и n при которых отношение
(a^m+a-1)/(a^n+a^2-1) равно целому числу для бесконечного числа натуральных a.
Комментарий

7. Автобусная сеть города устроена следующим образом:
а) С любой остановки на любую другую можно доехать одним из маршрутов без пересадки.
б) Для любой пары маршрутов существует единственная остановка, на которой можно пересесть с одного маршрута на другой.
в) На каждом маршруте n остановок. Число n больше единицы. Количество маршрутов больше единицы. Требуется найти количество маршрутов и количество всех остановок.
ЗЫ. Не для каждого n такой город может существовать.
Комментарий

8. Имеется n фитилей, каждый из которых сгорает за одну и ту же единицу времени - все как в А2. Какие промежутки времени можно отмерить?
Комментарий

9. Группоид <G, *>, то есть систему с одной бинарной операцией, назовем антиассоциативным, если forall x,y,z in G
not( x(yz)=(xy)z ). Определить все возможные порядки антиассоциативных группоидов.
Комментарий

10. Функция \psi задана формулой:
\psi(n) = (1,n) + (2,n) + (3,n) + ... + (n,n),
где (k,n) - наибольший общий делитель чисел k и n.
Доказать, что:
а) функция \psi мультипликативна, т.е \psi (1)=1 и \psi(m*n)=\psi(m)*\psi(n)) при любых взаимно простых m и n.
б) при любом натуральном a уравнение \psi(x)=ax разрешимо в натуральных числах.
в) Найти все натуральные a, при каждом из которых уравнение \psi(x)=ax имеет единственное решение.
Комментарий

Группа В (сложные)

1. Можно ли составить континуальное семейство подмножеств множества натуральных чисел с конечными пересечениями любых двух членов семейства?
Посмотреть решение

2. Пусть p и q - взаимно простые нечетные натуральные числа. Рассмотрим два вектора - каждый с pq координатами +1 и -1. В первом векторе первые p координат равны +1, следующие p координат равны -1, потом снова +1 и т.д. Во втором то же самое с заменой p на q. Доказать, что скалярное произведение этих векторов равно 1.
Комментарий

3. Имеются часы с центральной секундной стрелкой. Все стрелки движутся равномерно. Какова вероятность того, что бросив взгляд на эти часы, мы увидим, что секундная стрелка расположена ближе к минутной, чем к часовой?
Указание


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ 1 сообщение ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Albiertjon, Google [Bot], Samueliks и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB