НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Пн сен 23, 2019 7:00 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Немного про топологию
СообщениеДобавлено: Ср апр 21, 2004 11:10 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Вот представьте себе, что вам захотелось ввести понятие ГРАФИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ последовательности отображений. А потом исследовать эту самую графическую сходимость для полиномов степени не более 2-го порядка....

Определение. Пусть есть последовательность множеств {A_n}. Будем говорить, что она сходится к множеству A, если Lim A_n = A (т.е для любого элемента p из A существует сходящаяся последовательность {p_n}, p_n принадлежит A_n, и lim (inf r(p,A_n)) = 0 ) График, понятно что такое, множество {(x,f(x))}.

Предпологаемые результаты для метричекого(хОрдовая метрика) пространства расширенной вещественной прямой:
Теорема
Пусть {f_n(x)} - графически сходящаяся последовательность полиномов не более чем второй степени к графическому пределу Г. Тогда реализуема только одна возможность:
1) Г - есть график некоторого полинома не более чем второй степени
2) Г = Rx{y0}, y0 - некоторая точка из R
3) Г = [Rx{y0}] U [{x1,x2}xR] , y0,x1,x2 - некоторые точки из R, возможно совпадающие. // R - понимать как расширенную


ОК Решаем. Полагая f_n(x) = a_n * x^2 + b_n * x + c_n.
Случай 1) lim (a_n) не инфинити
lim (b_n) не инфинити
lim (c_n) не инфинити.
Легко доказываем, что в этом случае реализуется пункт 1) Теоремы. А также доказываем, что полюбому, если есть графический предел такой последовательности, то существует lim (a_n), lim (b_n), lim (c_n)
- терминах расширенного вещественного пространства.
Ну а теперь добавляем бесконечности немного и... понимаем, что действительно реализуются пункты 2) и 3) Теоремы.

Все исследование заемет от силы 3-5 страниц (даже если впридачу рассмотрим комплексный случай)
У меня резонный вопрос. Как это все раздуть на 20 страниц?
Или я действительно чего-то недогоняю в сложности поставленной задачи?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт апр 23, 2004 6:30 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Если я правильно понимаю: Rx{y0} --- это R \times y_0, т.е.
прямая не плоскости, параллельная оси абсцисс. Тогда 2) содержится
в 1), т.к. является графиком полинома не более, чем второй степени,
f(x) = y_0.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 24, 2004 12:54 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Это понятно, что 2 включается в 1,

Мне еще интересны методы исследования.

вот можно в самом начале показать, что если существует графический предел, то
a_n - сходится к некому а in R
b_n сходится к некому b in R
c_n сходится к некому c in R
___________________

если a,b,c - не инфинити, тогда граф предел и будет некий график полинома (ax^2+bx+c).
если к примеру, а=0. с-не инфинити, b - infinity, тогда получим вертикальную линию.
_____________________

Если я все правильно интуитивно чувствую, то меняя конечные параметры(бесконечность или нет) - получаются различные варианты (1) 2) или 3))

Интересно, как 3 получить?

и что будет если a,b,c = infinity


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Немного про топологию
СообщениеДобавлено: Сб апр 24, 2004 1:14 am 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
KntC писал(а):
... Тогда реализуема только одна возможность:...
и в то же время
KntC писал(а):
Это понятно, что 2 включается в 1

Вот это меня и смутило.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 24, 2004 11:55 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Выяснился сей факт лишь после написания условия теоремы.

Но смысел все равно такой: может удолетворять 1 или 2 или 3,

другого типа не дано


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 24, 2004 12:14 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Тогда не понятно, зачем выделять 2) в отдельный случай. У 1) много
всяких частных возможностей. Чем прямая из 2) лучше, например,
параболы (или любой другой прямой)?

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс апр 25, 2004 12:16 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Цитата:
Чем прямая из 2) лучше, например,
параболы


Да ничем не лучше. Просто первоначальная постановка (не моя) выглядела именно таким образом. Может это считается более структурузированным изложением задачи, или еще чего. Но это уже не важно. Важно показать, что других возможностей нет. Меня интересуют примеры, реализующие 3)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 26, 2004 11:29 am 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Если считать, что расширенная R^2 --- это аналог расширенной C
и бесконечно удалённая точка там одна (получается
стереографической проекцией сферы), то можно положить y_0 = \infty,
x_1 = -x_2 (последнее не принципиально, как будет ясно
позже). Рассмотрим параболы с корнями x_1, x_2 и вершинами на
Im z (имеется в виду упомянутая выше аналогия) (если корни не
симметричны, вершины будут на прямой, параллельной Im z), из
вершин этих парабол составим последовательность, сходящуюся к
бесконечности.

Графическим пределом описанной выше конструкции и будет ваш 3
случай.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 26, 2004 5:03 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Одна из возможных реализаций....

Пусть a_n/(b_n) = const

a_n,b_n -> \infinity
с_т - >
_______
с_n тоже к инфинити, таким образом, чтобы на каждой... ну скажем итерации корни были теми же

тогда получим в пределе графическом две параллельные прямые, проходящие через корни полинома(мы их сделали везде одинаковыми) Только вот горизонтальной прямой нету в этом случае:(
Млин, может все-таки условие косячное немножко...

Мне кажется я только что описал Ваш способ реализации :)

В общем вроде все тривиально, а с другой стороны замут своих тоже хватает, не все так просто, как кажется в начале


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 26, 2004 10:35 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
В предложенном мной примере горизонтальная прямая вырождается в
точку (на сфере при стереографической проекции это (0, 0, 1)), в которой
предельные прямые и пересекутся.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 27, 2004 1:00 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пн апр 14, 2003 6:47 pm
Сообщения: 15
Насколько я помню, сфера Римана тождественна(гомеоморфна, взаимооднозначна) расширенной плоскости. И полюс (0.0.1) - отождествляет лишь бесконечноудаленную ТОЧКУ. Поэтому если получается так, что прямая "вырождается" в точку на сфере => имхо следует, что все точки этой прямой - бесконечноудаленные. Красивый пример, не спорю. По моему, действительно, эквивалентно моему примеру, немного в других терминах. А все равно интересно, когда полностью и красиво реализуется пункт 3) Откуда возьмется красивая горизонтальная прямая, при наличии 2-ух вертикальных... И почему других вариантов нет...

Во всем виноваты эти долбанные бесконечности.
А сколько всяких свойств из теории всплывают... то что график любой f_n(x) - замкнутое множество... А возможно, даже множества графиков полиномов <=2 степени*(матрица поворота) - замкнутое множество в расширенной вещественной плоскости.... всякие 2^X пространства, в том числе и метризованные... И все это проверяется на каких то дурацких... возможных бесконечностях


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB