НГУ

Найти первообразную функции:
f=[х]

Помогите советом.

Сделай из функции F(x)=[x]x непрерывную - и будет тебе первообразная. На графике хорошо видно, какая она должна быть - кусочно-линейная.

А последовательными методами: не используя график - какова идея перехода от функции к первообразной?

Ну это же тривиально. На каждом полуинтервале вида [a, b[, где a, b из Z, f(x)=[x] константа, равная a. Значит первообразная у неё на этом полуинтервале будет линейная функция вида ax+c. Осталось только сделать так, чтобы искомая первообразная была непрерывной. В этом-то и поможет график - чтобы "угадать" формулу для первообразной. Ну а потом строго доказать, что полученная функция непрерывна. Хотя это уже очевидно будет.

Ну да, искомая функция будет выглядеть как ломаная, если рассудать таким образом. Непрерывной-то она будет, а вот будет ли она дифференцируемой в точках "излома", вот в чем вопрос....

Конечно, не будет. Да это и понятно - исходная-то функция не непрерывна...

_________________
С уважением,
Илья Орлов.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на U - подмножество расширенной числовой прямой, если для любого x из U F'(x)=f(x).

Очевидно, что первообразной у этой функции не существует, поэтому нужно искать обобщённую первообразную.

Определение. Функция F(x) называется обощённой первообразной функции f(x) на U - подмножество расширенной числовой прямой, если F(x) непрерывна на U и для любого x из U, за исключением, быть может, счётного множества точек F'(x)=f(x).

Точки излома в данном случае - это всё Z, которое, очевидно, счётно.

Соряйте, на первом курсе обобщенную первообразную не проходят
Попробовал в лоб, не проканало, буду слушать молча

Да что Вы говорите! Я не знаю, на каком Вы потоке, но у нас (1 поток) И.А. Шведов неопределённое интегрирование давал во 2-м семестре. И определение обобщённой первообразной было сразу же после обычной.

В конце концов, я же написал, что обычной первообразной у этой функции нет. Так что если для вас не существует обобщённой первообразной, то можете жаловаться преподавателю, что задача некорректно поставлена

Это задача 2305 из Демидовича
Ответ [x](2x-1-[x])/2.
Достаточно убедиться, что она непрерывна, а ее производная равна [x] везде, кроме счетного числа точек.
Кстати, в нашем курсе матанализа (1 поток, 1 курс, С. К. Водопьянов)
с равенством производной дело обстоит так:

точная первообразная - во всех точках
первообразная - везде, кроме не более чем счетного множества точек
первообразная Лебега - везде, кроме множества меры нуль + липшицева.

_________________
Semyon Dyatlov

Ну в общем что я и говорил несколькими постами выше
Мне просто лень было точную формулу считать, да просящему нужен был только совет

Ну это, думаю, во всех курсах так

Это в точности обобщённая первообразная по Шведову.

Формально Шведов такую первообразную не вводил, но интеграл Лебега-то в любом случае Шведов рассказывает. А этот интеграл как раз устойчив к множествам меры нуль.
Итого: думаю, что тему уже можно закрыть
А что ее закрывать? Вопроc. имхо, исчерпан. //bolbot