НГУ
http://forum.nsu.ru/

Интеграл
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=18&t=3285
Страница 1 из 1

Автор:  Гость [ Пн май 17, 2004 6:21 pm ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

Найти первообразную функции:
f=[х]

Помогите советом.

Автор:  IVM [ Пн май 17, 2004 7:57 pm ]
Заголовок сообщения: 

Сделай из функции F(x)=[x]x непрерывную - и будет тебе первообразная. На графике хорошо видно, какая она должна быть - кусочно-линейная.

Автор:  Гость [ Пн май 17, 2004 11:54 pm ]
Заголовок сообщения: 

А последовательными методами: не используя график - какова идея перехода от функции к первообразной?

Автор:  IVM [ Вт май 18, 2004 12:50 am ]
Заголовок сообщения: 

Ну это же тривиально. На каждом полуинтервале вида [a, b[, где a, b из Z, f(x)=[x] константа, равная a. Значит первообразная у неё на этом полуинтервале будет линейная функция вида ax+c. Осталось только сделать так, чтобы искомая первообразная была непрерывной. В этом-то и поможет график - чтобы "угадать" формулу для первообразной. Ну а потом строго доказать, что полученная функция непрерывна. Хотя это уже очевидно будет.

Автор:  hedin [ Вт май 18, 2004 9:17 am ]
Заголовок сообщения: 

Ну да, искомая функция будет выглядеть как ломаная, если рассудать таким образом. Непрерывной-то она будет, а вот будет ли она дифференцируемой в точках "излома", вот в чем вопрос....

Автор:  IOO [ Вт май 18, 2004 9:19 am ]
Заголовок сообщения: 

hedin писал(а):
Ну да, искомая функция будет выглядеть как ломаная, если рассудать таким образом. Непрерывной-то она будет, а вот будет ли она дифференцируемой в точках "излома", вот в чем вопрос....

Конечно, не будет. Да это и понятно - исходная-то функция не непрерывна...

Автор:  IVM [ Вт май 18, 2004 1:25 pm ]
Заголовок сообщения: 

hedin писал(а):
Непрерывной-то она будет, а вот будет ли она дифференцируемой в точках "излома", вот в чем вопрос....


Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на U - подмножество расширенной числовой прямой, если для любого x из U F'(x)=f(x).

Очевидно, что первообразной у этой функции не существует, поэтому нужно искать обобщённую первообразную.

Определение. Функция F(x) называется обощённой первообразной функции f(x) на U - подмножество расширенной числовой прямой, если F(x) непрерывна на U и для любого x из U, за исключением, быть может, счётного множества точек F'(x)=f(x).

Точки излома в данном случае - это всё Z, которое, очевидно, счётно.

Автор:  hedin [ Вт май 18, 2004 10:33 pm ]
Заголовок сообщения: 

Соряйте, на первом курсе обобщенную первообразную не проходят :-)
Попробовал в лоб, не проканало, буду слушать молча :-)

Автор:  IVM [ Вт май 18, 2004 11:19 pm ]
Заголовок сообщения: 

hedin писал(а):
Соряйте, на первом курсе обобщенную первообразную не проходят :-)


Да что Вы говорите! Я не знаю, на каком Вы потоке, но у нас (1 поток) И.А. Шведов неопределённое интегрирование давал во 2-м семестре. И определение обобщённой первообразной было сразу же после обычной.

В конце концов, я же написал, что обычной первообразной у этой функции нет. Так что если для вас не существует обобщённой первообразной, то можете жаловаться преподавателю, что задача некорректно поставлена :)

Автор:  Dyatlov [ Чт май 20, 2004 4:34 pm ]
Заголовок сообщения: 

Это задача 2305 из Демидовича
Ответ [x](2x-1-[x])/2.
Достаточно убедиться, что она непрерывна, а ее производная равна [x] везде, кроме счетного числа точек.
Кстати, в нашем курсе матанализа (1 поток, 1 курс, С. К. Водопьянов)
с равенством производной дело обстоит так:

точная первообразная - во всех точках
первообразная - везде, кроме не более чем счетного множества точек
первообразная Лебега - везде, кроме множества меры нуль + липшицева.

Автор:  IVM [ Чт май 20, 2004 5:58 pm ]
Заголовок сообщения: 

Dyatlov писал(а):
Это задача 2305 из Демидовича
Ответ [x](2x-1-[x])/2.
Достаточно убедиться, что она непрерывна, а ее производная равна [x] везде, кроме счетного числа точек.

Ну в общем что я и говорил несколькими постами выше :)
Мне просто лень было точную формулу считать, да просящему нужен был только совет :)
Цитата:
Кстати, в нашем курсе матанализа (1 поток, 1 курс, С. К. Водопьянов)
с равенством производной дело обстоит так:
точная первообразная - во всех точках

Ну это, думаю, во всех курсах так :)
Цитата:
первообразная - везде, кроме не более чем счетного множества точек

Это в точности обобщённая первообразная по Шведову.
Цитата:
первообразная Лебега - везде, кроме множества меры нуль + липшицева.

Формально Шведов такую первообразную не вводил, но интеграл Лебега-то в любом случае Шведов рассказывает. А этот интеграл как раз устойчив к множествам меры нуль.
Итого: думаю, что тему уже можно закрыть :)
А что ее закрывать? Вопроc. имхо, исчерпан. //bolbot

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/