НГУ

Помогите с несложным вопросом: найти размерность векторного пространства R над полем Q (я в принципе понимаю, что бесконечность, но вот какого порядка счетное или континум). И если не сложно найти его базис.

Пусть X -- ненулевое векторное пространство над бесконечным полем F. Тогда размерность dim X пространства X, его мощность |X| и мощность |F| поля F связаны следующим соотношением: |X| = max{dim X, |F|} (это довольно легко проверяется). В нашем случае X=R(Q) и F=Q, а значит, |R| = max{dim R(Q), |Q|}, откуда следует, что dim R(Q)=|R|. Таким образом, ответ на поставленный вопрос -- "континуум".

А вот "найти" базис (т.е. привести "конкретный" пример базиса) вряд ли удастся. Есть подозрение, что в определенном смысле такого примера попросту нет, т.е. это тот случай, когда можно доказать существование объекта (базиса), но привести "конкретный" пример такого объекта нельзя. Любые известные способы "построения" базиса R(Q) прямо или косвенно опираются на аксиому выбора / лемму Цорна.