НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Вт сен 17, 2019 7:14 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как определить натуральные числа
СообщениеДобавлено: Чт сен 07, 2006 3:48 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В курсе логики традиционно излагается теория множеств, в которой предлагаются теоретико-множественные определения для разных математических понятий. Множество натуральных чисел к числу важных понятий несомненно относится, и было бы весьма заманчиво дать ему определение.

Это можно попробовать сделать так: определить его как множество конечных ординалов, а конечным ординалом называть, например, непредельный ординал, все элементы которого тоже непредельные. Конкретное определение конечного ординала не очень важно - тут есть много эквивалентных способов.

Пусть мы задали множество натуральных чисел формулой A (x), в том смысле, что A (x) истинна тогда и только тогда, когда x - число. Обозначим через Bn(x) формулу, говорящую, что x - это ординал, равный сумме n единиц 1+...+1. Если мы рассмотрим тип
A(x), -B0(x), -B1(x), -B2 (x), ...
то он по теореме компактности будет совместен с ZFC, следовательно, у ZFC будет существовать модель, в которой A(x) верна на элементе, большем, чем 1, 1+1, 1+1+1,...

Не означает ли это, что A(x) даёт нам какое-то неправильное определение натуральных чисел? Ведь чисел, которые больше 1, 1+1, ..., не бывает.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 07, 2006 4:14 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Это провокация или искренний вопрос? :)

Вы только что привели доказательство того факта, что любое определение натурального числа является "неправильным", так что тут ничего не поделаешь.

Не выходя за рамки традиционной теории моделей, я не могу придумать строгий эквивалент фразы "чисел, которые больше 1, 1+1, ..., не бывает", способный претендовать на истинность. Если ограничиться традиционными подходами, то, опять же, Вы сами привели доказательство, что такие числа бывают, т.е. показали, что существуют модели, где они есть.

Кроме того, есть такая вещуга, как "нестандартный анализ", который существенно опирается на наличие таких "неправильных" чисел. В нем, например, любое натуральное число, определяемое формулой вида x=1+1+...+1, является стандартным, но кроме стандартных натуральных чисел непременно есть и другие (бесконечно большие).


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 07, 2006 4:25 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
Это провокация или искренний вопрос? :)

В некотором смысле провокация - я не написал всего, что думаю по этому поводу, чтобы оставить побольше простора для разных мнений. :)

С другой стороны, некоторый парадокс-то ведь есть? Нестандартный анализ (насколько я с ним знаком) - вещь немного другая, поскольку не претендует на гордое звание основания математики. В существовании мира, некоторые величины в котором "бесконечно малы", нет ничего принципиально противоречивого.

Курс теории множеств замахивается на большее. И фразу "определим натуральные числа как ..." я иногда встречаю. Можно ли в такой ситуации использовать слово "определение"?

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 07, 2006 5:44 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Чтобы определиться с употреблением слова "определение",
разумно сначала попытаться определить понятие определения. :)
С формальной точки зрения под "определением" можно понимать
расширение грамматики (т.е. введение новой синтаксической
конструкции), снабженное правилами перевода с языка
расширенной грамматики на язык исходной.
Например, определение натурального числа формулой A(x)
представляет собой введение новой формулы
"x является натуральным числом"
(т.е. расширение грамматики продукцией
"[формула] ::= [терм] является натуральным числом"),
снабженное правилом перевода
"x является натуральным числом -> A(x)".
Но при таком подходе "правильных" или "неправильных"
определений не бывает.

Возвращаясь к "парадоксу"... В чем тут у нас "парадоксальность"?
Наверное, в том, что в метамодели у нас уже есть понятие
натурального числа, и любая попытка "перенести" его
на модели приводит к "рассогласованию понятий":
в (некоторых) моделях появляются натуральные числа,
которые с точки зрения метамодели натуральными числами
не являются, т.е. не удовлетворяют условию x = 1+1+...+1
ни для какого числа (точнее, метачисла) слагаемых.

Можно тогда задать такой вопрос: если понятие
натурального числа "адекватно" не переносится на модели,
то можно ли считать такое определение натурального числа
в метамодели правильным? Возможный ответ: рефлексируя,
можно взглянуть на метамодель как на модель,
т.е. как на всего лишь одну из моделей
в рамках метаметамодели. И в этом смысле определение
натурального числа в метамодели может не согласовываться
с понятием натурального числа в метаметамодели,
т.е. уже в самой метамодели могут существовать
"бесконечно большие" числа, которые с точки зрения
метаметамодели натуральными числами не являются.
Тогда парадокс смягчается: как в самой метамодели,
так и в моделях могут встречаться "неправильные"
натуральные числа.

Альтернативная драконовская мера: для устранения
"парадокса" рассматривать только "правильные" модели,
т.е. модели, в которых нет "неправильных" натуральных чисел.
Но тут вряд ли найдутся многочисленные последователи,
да и возникнет какой-нибудь другой аналогичный "парадокс"
(не относящийся к понятию натурального числа).


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 08, 2006 2:38 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
У ZFC также счётная модель будет. Неужели из этого следует, что каждый кардинал является счётным? :)

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 08, 2006 2:57 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Коба писал(а):
У ZFC также счётная модель будет. Неужели из этого следует, что каждый кардинал является счётным? :)
Промолчу, чтобы не обламывать кайф тем, кто еще не задумывался над этим веселым вопросом. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 08, 2006 7:13 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
To AGu:
Потребовать от модели стандартности - первое, что приходит в голову. Давайте определим натуральные числа как "конечные ординалы", а ещё добавим, что модель ZFC, в которой мы "живём" - стандартная. Тогда дело определённо улучшится.

Оно, однако, явно ухудшится с другого края. Формула, определяющая конечные ординалы - конечное слово, которое можно написать на бумаге и затем с ним работать. Требование же стандартности - нечто довольно расплывчатое, которое неясно как и сформулировать точно. Тут нужно говорить что-то вроде того, что "в нашей модели ZFC натуральные числа - это только настоящие натуральные числа, а ни одного ненастоящего нет". Этаким "определением" можно надолго отпугнуть неискушённого человека от математической логики. :)

Вот, например, если мы зададим число A как наименьшее число, у которого есть 12 делителей, то любой математик согласится, что получилось неплохое определение числа 60: оно является строгим, однозначным и легко применяемым на практике. :) Вот бы и все натуральные числа так определить...

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 08, 2006 7:16 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
К вопросу о "неправильных" определениях натуральных чисел.
Вы будете хи-хи, но...

Задача (на одном форуме):
    Дать определение множества натуральных чисел в рамках
    классической теории множеств (в которой единственным
    неопределяемым понятием является множество).
Решение (дословная цитата из того форума):
    Исходя из понятия "множество" определяем понятие "функция"
    (это делается). Затем выделяем среди функций взаимно-однозначные
    соответствия и вводим понятие "равномощность". Доказываем, что
    введенное отношение есть отношение эквивалентности. Теперь
    определяем понятие "конечное множество" -- множество,
    не равномощное никакому своему собственному подмножеству.
    Барабанная дробь -- натуральное число есть класс эквивалентности
    конечных множеств относительно отношения "быть равномощным".
Теперь инфа к размыши:
    Какие "натуральные числа" существуют (при таком определении)?
(Знаю, что бородато. Побрейте, если не лень.)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс сен 10, 2006 3:53 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
Давайте определим натуральные числа как "конечные ординалы", а ещё добавим, что модель ZFC, в которой мы "живём" - стандартная.
Дело вкуса, но я предпочитаю жить не в модели ZFC, а в теории ZFC. А в теории ZFC "стандартность" неформализуема. Нет понятия -- нет проблемы. :) Впрочем, с готовностью ныряю в предложенный водоем. Пусть будет модель. Стандартная.
Цитата:
Требование же стандартности - нечто довольно расплывчатое, которое неясно как и сформулировать точно.
Да, увы, поскольку определить "стандартность мира" одними только средствами этого мира нельзя, приходится либо привлекать метамир, либо напускать туман.
Цитата:
Вот, например, если мы зададим число A как наименьшее число, у которого есть 12 делителей, то любой математик согласится, что получилось неплохое определение числа 60: оно является строгим, однозначным и легко применяемым на практике. :) Вот бы и все натуральные числа так определить...
Хмм... Откровенно говоря, не вижу проблемы. В стандартной модели все натуральные числа "так" определяются. Любое число имеет "строгое, однозначное и легко применяемое на практике" определение: "число, равное 1", "число, равное 1+1", "число, равное 1+1+1", ... (Других-то чисел у нас нет.) Если же хочется, чтобы все числа "так" определялись в произвольной модели (или в теории), то, по всей видимости, перехочется, эта мечта неосуществима.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс сен 10, 2006 4:55 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
К вопросу о "неправильных" определениях натуральных чисел...

Да, даже на Форумах, увы, не все знают ответ на наш вопрос. :) Это определение в рамках ZFC эквивалентно предыдущему, а коль скоро уж аксиомы-то из ZFC мы точно признаём, оно обладает теми же недостатками.

AGu писал(а):
Pavel E. Alaev писал(а):
Давайте определим натуральные числа как "конечные ординалы", а ещё добавим, что модель ZFC, в которой мы "живём" - стандартная.
Дело вкуса, но я предпочитаю жить не в модели ZFC, а в теории ZFC.

Как же можно жить в теории?! Там одни предложения живут.

Надеюсь, что вскоре я перестану валять дурака и подробнее изложу некоторые мои мысли по этому поводу.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пн сен 11, 2006 1:33 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Pavel E. Alaev писал(а):
Множество натуральных чисел к числу важных понятий несомненно относится, и было бы весьма заманчиво дать ему определение.

Это можно попробовать сделать так: определить его как множество конечных ординалов, а конечным ординалом называть, например, непредельный ординал, все элементы которого тоже непредельные. Конкретное определение конечного ординала не очень важно - тут есть много эквивалентных способов.

Пусть мы задали множество натуральных чисел формулой A (x), в том смысле, что A (x) истинна тогда и только тогда, когда x - число. Обозначим через Bn(x) формулу, говорящую, что x - это ординал, равный сумме n единиц 1+...+1. Если мы рассмотрим тип
A(x), -B0(x), -B1(x), -B2 (x), ...
то он по теореме компактности будет совместен с ZFC, следовательно, у ZFC будет существовать модель, в которой A(x) верна на элементе, большем, чем 1, 1+1, 1+1+1,...

Не означает ли это, что A(x) даёт нам какое-то неправильное определение натуральных чисел? Ведь чисел, которые больше 1, 1+1, ..., не бывает.


А в чём, собственно, прикол? Почему возникает ощущение чего-то неправильного?

Формула

$\forall x (A(x) \rightarrow (\exists n \in \mathbb{N}) B_n(x))$ ---

это высказывание метаязыка, в ней стоит квантор по множеству формул предметного языка (языка ИП первого порядка с бинарным отношением принадлежности). О доказуемости/недоказуемости его в ZFC не может быть и речи. (Тут, по-моему, Б. Рассел целую теорию типов разработал, чтобы была возможность аккуратно рассуждать о подобных вещах.)

Совместность указанного типа с ZFC означает всего лишь, что для любого натурального n в ZFC нельзя вывести, что произвольное натуральное число x принадлежит отрезку [0,n]. Но разве это плохо? По-моему, так совсем наоборот.

А вот что в ZFC действительно хорошо, так это то, что доказуем принцип мат. индукции в форме

$\forall y (0 \in y \wedge \forall z (z \in y \rightarrow z+1 \in y) \rightarrow \forall z(A(z) \rightarrow z \in y))$.

Здесь первым стоит квантор по $y$ --- произвольному множеству, которое, по сути, можно понимать как произвольное подмножество натурального ряда.

Если в некоторой модели ZFC существует ''множество'' $\{ x : (\exists i \in \Nat) B_i(x) \}$, то, по принципу индукции, это множество совпадает со всем натуральным рядом. Поскольку, как уже было отмечено, тип совместен, не для всякой модели ZFC такое ''множество'' существует. Существует ли оно в ''стандартной'' (или, наверное, лучше сказать ''настоящей'') модели? По-видимому, да... Но средствами ZFC этого, естественно, не доказать, и аргументы в пользу существования этого множества (как ''настоящего'' множества, то есть как элемента ''настоящей'' модели) имеют скорее теологический, а не математический характер.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн сен 11, 2006 6:38 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
Это определение в рамках ZFC эквивалентно предыдущему, а коль скоро уж аксиомы-то из ZFC мы точно признаём, оно обладает теми же недостатками.
Хмм... Не могу согласиться. Если выскочить, например, в теорию фон Неймана -- Геделя -- Бернайса, то -- да, в определенном смысле эквивалентность есть, но если оставаться в рамках ZFC, то при втором определении (через классы эквивалентности) "натуральных чисел" получается гораздо меньше. :)
Цитата:
Как же можно жить в теории?! Там одни предложения живут.
Затрудняюсь ответить. Это -- штука скорее психологическая. Должно быть, я просто внушил себе, что живу в теории. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пн сен 11, 2006 6:54 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Коба писал(а):
А в чём
...
характер.
Поднапрягшись, кажись, все понял. Со всем согласен.
Жду раскола инициатора ветки. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 12, 2006 3:28 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
Чтобы определиться с употреблением слова "определение", разумно сначала попытаться определить понятие определения.

Приведённый ниже текст несколько шероховат, ну да сойдёт. По-видимому, определением некоторого класса X, состоящего из математических объектов, следует считать какое-то свойство, которым будут обладать все элементы X, и только они. Ничего другого тут не придумаешь. Очевидным недостатком этого подхода является неясность точного смысла слова "свойство", равно как и некоторых других слов.

Возможно, имеет смысл различать термины "определение" и "ZFC-определение". ZFC-определение класса X - это формула B(y) соответствующего языка, относительно которой математики сходятся во мнении (или же принимают это за исходный постулат):
существует ZFC-мир, в котором формула B(y) истинна тогда и только тогда, когда y лежит в X.

Например, если мы рассмотрим класс X*, состоящий из всех множеств, то его определение математикам неизвестно. Когда им приходится объяснять студентам, что такое множество, они бормочут нечто маловразумительное. Между тем ZFC-определение класса X* существует - это формула y=y. В качестве искомого мира нужно взять все множества.

Точно так же формулу A(y), о которой говорилось выше, можно взять в качестве ZFC-определения натуральных чисел. Называть её "определением натурального числа" столь же абсурдно, как называть формулу y=y определением множества.

Такая точка зрения хорошо объясняет эффективность ZFC: если мы в этой аксиоматической системе доказали некий факт "про X", пользуясь его ZFC-определнием B(y), то рассмотрев ZFC-мир, в котором B(y) действительно соответствует X, получим, что этот факт верен для X.

Что касается правильного определения натуральных чисел, то можно предложить такой подход. Кроме исходного неопределяемого понятия множества, нужно ввести по крайней мере ещё одно неопределяемое понятие - конечность. Тогда множество натуральных чисел действительно можно отождествить с множеством конечных ординалов, где конечность понимается уже в правильном смысле.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 12, 2006 6:35 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
Кроме исходного неопределяемого понятия множества, нужно ввести по крайней мере ещё одно неопределяемое понятие - конечность. Тогда множество натуральных чисел действительно можно отождествить с множеством конечных ординалов, где конечность понимается уже в правильном смысле.
Любопытный подход. Напоминает нестандартную теорию множеств в ее радикальной (нельсоновской) ипостаси. Впрочем, я не уверен, что понял всю глубину мысли. Что предполагается делать с этим новым неопределяемым понятием? Вводить для него аксиомы или пусть так живет? Не возникнут ли с ним аналогичные проблемы? Не наткнемся ли мы на модели с "неправильной" конечностью? Если не отказываться от того привычного факта, что конечные множества равномощны натуральным числам, то не является ли этот подход эквивалентным введению неопределяемого понятия "быть натуральным числом"? :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB