НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Сб фев 23, 2019 11:48 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 12, 2006 8:44 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
Что предполагается делать с этим новым неопределяемым понятием? Вводить для него аксиомы или пусть так живет? Не возникнут ли с ним аналогичные проблемы?

Если мы примемся вводить для него аксиомы, пытаясь сохранить при этом ZFC, то ничего другого, кроме одной единственной аксиомы - эквивалентности этого понятия и формулы A(y), мы не придумаем. Все истинно-конечные ординалы удовлетворяют формуле A(y), а их множество удовлетворяет принципу индукции, поэтому эквивалентно A(y).

Следовательно, аксиомы вводить не будем. Они, собственно, без надобности: всё, что мы хотим доказать про натуральные числа, мы можем доказать с помощью формулы A(y), коль скоро оно является их ZFC-определением.

Ergo, остаётся вариант "пусть так и живёт". Множества вон тоже "так и живут" без определения. Возможно, совместное проживание рядом с этим удивительным понятием поможет нам прийти к мысли, что теория множеств не должна исчерпываться аксиоматическим подходом.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср сен 13, 2006 5:47 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
аксиомы вводить не будем
Т.е. предлагается поставить понятие конечного множества на тот же туманный уровень, что и понятие множества? Но ведь туман вокруг понятия множества (частично) развеивается аксиоматикой, связанной с этим понятием (неформально, через предметную область переменных). Если же для понятия конечного множества мы не будем вводить специализированные аксиомы (и/или переменные), то туман вокруг него окажется таким густым, что самого понятия просто не будет видно. Если не вводить аксиомы, то нужен какой-то иной способ уточнения, некий регламент работы с этим понятием.
Цитата:
Множества вон тоже "так и живут" без определения.
Но все же с аксиомами.
Цитата:
Возможно, совместное проживание рядом с этим удивительным понятием поможет нам прийти к мысли, что теория множеств не должна исчерпываться аксиоматическим подходом.
Тут я, увы, пас. Таким свободомыслием (пока) не обладаю.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср сен 13, 2006 6:06 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Вдогонку...
Pavel E. Alaev писал(а):
Если мы примемся вводить для него аксиомы, пытаясь сохранить при этом ZFC, то ничего другого, кроме одной единственной аксиомы - эквивалентности этого понятия и формулы A(y), мы не придумаем. Все истинно-конечные ординалы удовлетворяют формуле A(y), а их множество удовлетворяет принципу индукции, поэтому эквивалентно A(y).
Это так, но лишь в том случае, если множество всех истинно-конечных ординалов существует. А это требование вовсе не является обязательным. Вполне можно научиться жить с понятием истинно-натурального числа, не имея при этом множества, состоящего в точности из всех истинно-натуральных чисел. (Кстати, именно так обстоит дело со стандартными натуральными числами в радикальной нестандартной теории множеств.) Впрочем, эта экзотика не спасает от "неправильностей", т.е. от возникновения моделей, в которых "истинная конечность" не является "воистину конечной".


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 14, 2006 10:07 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Понятие числа хорошо известно всем, кроме специалистов. :) (с)

Если уж понятие множества считать неопределимым, то чем не нравится модель Пеано?

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 14, 2006 5:39 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
bolbot писал(а):
Если уж понятие множества считать неопределимым, то чем не нравится модель Пеано?
Скорее всего, тем же: существованием "неправильных" моделей арифметики, где натуральных чисел гораздо больше, чем "хочется".


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 14, 2006 10:23 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Я попробовал чуток поразмышлять над тем, какая теория может
возникнуть, если ввести ту самую "неопределяемую конечность".
Вот, что у меня получилось.

    Узники сигнатуры IF
Рассмотрим сигнатуру IF = {\in, fin}, состоящую из
бинарного предиката \in и унарного предиката fin.

Модель M сигнатуры IF назовем узником этой сигнатуры
(или IF-узником), если интерпретация [fin]
предиката fin определяется интерпретацией [\in]
предиката \in следующим образом:

    [fin](x) тогда и только тогда, когда
    множество {y \in M : y [\in] x} конечно.
Для формулы fin(x) введем прочтение
"x является конченым множеством".

Узником ZFC (или ZFC-узником) назовем любого IF-узника,
обеднение которого до сигнатуры {\in} является моделью ZFC.

Пусть \phi -- произвольное предложение сигнатуры IF.
Будем говорить, что \phi является тюремой ZFC
(и писать ZFC # \phi), если M |= \phi для всех ZFC-узников M.

Несмотря на однозначную определимость интерпретации fin
посредством интерпретации \in предикат fin не определим
посредством \in в рамках ZFC, т.е. не существует формула
\phi сигнатуры {\in} такая, что предложение

    \forall x (fin(x) <=> \phi(x))
является тюремой ZFC. (В этом смысле конченость
является сверхъестественной по отношению к ZFC.)

Заметим, что всякое конченое множество является конечным,
т.е., если Fin(x) -- формула сигнатуры {\in}, определяющая
конечность x в смысле ZFC, то предложение

    \forall x (fin(x) => Fin(x))
является тюремой ZFC. Обратная импликация, разумеется,
тюремой ZFC не является.

Класс конченых множеств обладает рядом свойств,
характерных для класса конечных множеств. Например:

    Всякое подмножество конченого множества является конченым.
    Объединение конченого семейства конченых множеств кончено.
    Множество всех подмножеств конченого множества
    является конченой булевой алгеброй (относительно
    теоретико-множественных операций).
    Если множество x равномощно конченому множеству,
    то x также является конченым множеством.
Конченые ординалы назовем внатуральными числами.

Всякое внатуральное число является натуральным.
(Обратное утверждение тюремой ZFC не является.)
Как легко видеть, существование множества всех
внатуральных чисел не является тюремой ZFC,
т.е. существуют ZFC-узники, в которых отсутствует
множество всех внатуральных чисел.

Класс внатуральных чисел (именно класс, а не
множество) обладает рядом свойств, характерных
для множества натуральных чисел. Например:

    Ноль является внатуральным числом.
    Если x -- внатуральное число, то x+1 -- внатуральное число.
    Сумма конченого числа внатуральных чисел
    является внатуральным числом.
    Всякое конченое множество равномощно некоторому
    внатуральному числу.
Напоследок сформулирую одну метагипотезу
(в "тюремности" которой я сомневаюсь),
претендующую на звание "принципа конченой индукции".

    Для любой формулы \phi(x) сигнатуры FI
    следующее утверждение является тюремой ZFC:
    если верно \phi(0) и для любого внатурального числа x
    из \phi(x) следует \phi(x+1), то \phi(x) верно
    для всех внатуральных x.
Для затравки, пожалуй, хватит. (Я наверняка и так уже
допустил кучу ошибок.)

Интересно, задумывалось ли инициатором ветки нечто подобное?
А может быть, подобные сумасшедшие теории уже существуют,
и все это -- конченое подобие чего-нибудь классического?
(Кстати, нестандартным анализом тут разит из всех щелей.)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн сен 18, 2006 7:08 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
Напоследок сформулирую одну метагипотезу (в "тюремности" которой я сомневаюсь), претендующую на звание "принципа конченой индукции".

    Для любой формулы \phi(x) сигнатуры FI
    следующее утверждение является тюремой ZFC:
    если верно \phi(0) и для любого внатурального числа x
    из \phi(x) следует \phi(x+1), то \phi(x) верно
    для всех внатуральных x.

Хотя ветка не особенно длинна, вопросов и идей накопилось довольно много. Не имея чрезмерного избытка свободного времени, буду следовать разумному принципу - комментировать их по очереди. Надеюсь, это не покажется моим собеседникам невежливым. :)

Приведённая гипотеза кажется мне верной. Если мы построим формулу nat(x) как fin(x)&ord(x), где последнее выражает, что x - ординал, то тюремой будет предложение:
(\phi(0)&
\forall x [\phi(x)&nat(x) => \phi (x+1)])
=> \forall x [nat(x) => \phi(x)].

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн сен 18, 2006 10:15 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Да, я напрасно усомнился в справедливости принципа
конченой индукции. Ниже приведено его доказательство.

Обозначим через N множество всех натуральных метачисел.
Для произвольного ZFC-узника M положим
    M_fin = {x \in M : M |= fin(x)},
    M_nat = {x \in M : M |= nat(x)}.
Для любого x \in M_fin мощность (конечного) множества
{y \in M : M |= y \in x} условимся называть мощью x
и обозначать символом #x.

Для любого n \in N обозначим символом 'n' тот
(единственный) элемент x \in M_nat, для которого
M |= x=1+1+...+1 (n слагаемых).
(Отсутствие символа M в обозначении 'n' оправдывается
тем, что 'n' можно трактовать как определимый терм,
единообразно интерпретируемый во всех ZFC-узниках.)

ЛОХАЧ (Лемма о характеризации чисел).
    Для любого ZFC-узника M имеет место равенство
    M_nat = {'n' : n \in N}.
    Более того, x='#x' для всех x \in M_nat.
Доказательство ЛОХАЧа.
    Докажем, что x='#x' для всех x \in M_nat, индукцией по #x.
    Если #x=0, то M |= x=0, а значит, x='0'='#x'.
    Предположим, что x='n' для всех x \in M_nat мощи n,
    и рассмотрим элемент x \in M_nat мощи n+1.
    Ясно, что M |= x \ne 0, а значит, M |= x=y+1
    для некоторого y \in M_nat. Как легко видеть, #y=n.
    По индукционному предположению y='n'.
    Следовательно, M |= x = y+1 = 'n'+1 = 'n+1',
    откуда x = 'n+1' = '#x'.
Доказательство принципа конченой индукции.

    Рассмотрим произвольного ZFC-узника M и предположим, что
      M |= \phi(0) & \forall x [nat(x) & \phi(x) => \phi(x+1)].
    Согласно ЛОХАЧу для доказательства
      M |= \forall x [nat(x) => \phi(x)]
    достаточно установить, что M |= \phi('n') для всех n \in N.
    Предположив противное, рассмотрим наименьшее n \in N,
    для которого не выполняется M |= \phi('n').
    Поскольку M |= \phi(0), мы имеем n > 0. Тогда M |= \phi('n-1').
    Заметим, что M |= \phi('n-1') => \phi('n-1'+1)
    и тем самым M |= \phi('n-1'+1). С другой стороны,
    M |= 'n-1'+1 = 'n', а значит, M |= \phi('n').
    Полученное противоречие завершает доказательство.
Стоит отметить, что приведенное доказательство не опирается
на тот факт, что \phi является формулой сигнатуры IF,
и сохраняет силу для совершенно произвольного предиката.
Таким образом, принцип конченой индукции можно усилить
следующим образом.

ПУКИ (Принцип усиленной конченой индукции)
    Для любого предиката p(x,y1,...,yn) и любой модели M
    сигнатуры IF+{p}, обеднение которой до сигнатуры IF
    является ZFC-узником, в M истинно следующее предложение:

      для любых y1,...,yn, если p(0,y1,...,yn)
      и для любого внатурального числа x
      из p(x,y1,...,yn) следует p(x+1,y1,...,yn),
      то p(x,y1,...,yn) для всех внатуральных x.
Ничего не напутал?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт сен 22, 2006 11:57 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
To Agu: Ваши построения (особенно замечательные своим краткими мнемонизмами), видимо, могут быть описаны так: вместо всех моделей ZFC мы рассматриваем модели, в которых есть дополнительный предикат fin, удовлетворяющий ряду условий.

Легко заметить, что для каждого воистину-натурального числа n мы можем написать формулу En(x), которая говорит (в любой модели ZFC), что x - n-элементное множество. То есть свойство "содержать n элементов" выразимо формулой ZFC, тут никаких коллизий с неправильными моделями не возникает.

А тогда класс моделей (IF-узников), который мы рассматриваем, становится в точности классом моделей, в которых предикат fin равен объединению En(x) по всем n, или бесконечной дизъюнкции, если угодно. То есть мы добавили к ZFC ещё одну аксиому:
[fin](x) <=> U_{n} En(x)

Насколько я знаю, существуют логики, которые на синтаксическом уровне отражают такую семантику. Формулы, в которых используются счётные конъюнкции и дизъюнкции, называются формулами языка L_{\omega_{1}, \omega}. К сожалению, они не могут быть заданы конечным числом конечных правил вывода - например, в них используется такое "бесконечное" правило:
если для каждого n выводима формула
En(x) => E(x),
то выводима и формула
[fin](x) => E(x),
для любой формулы E(x). В этом смысле что-то принципиально новое мы тут вряд ли обнаружили.

На самом деле, если уж заниматься аксиоматизацией, то хочется конечно иметь аксиому о том, что fin&ord даёт нам множество, т.е.
\exists y \forall x ( x \in y <=> [fin]&[ord](x) )
А отсюда сразу получается
A(x) <=> [fin]&[ord](x),
где A(x) - формула для "конечных" ординалов. Сделав так, мы получим существенно более узкий класс моделей, без неправильных натуральных чисел. Я не знаю, будет ли это консервативным расширением ZFC, но подозреваю, что ответ на этот вопрос давно известен, и является положительным.

Тут, я думаю, как раз хорошо видно замечательное свойство ZFC и прилагающегося логического аппарата, которое обеспечило им славу - возможность оперировать только конечными выводами, смысл которых понимают одинаково практически все математики.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб сен 23, 2006 5:49 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Хорошо написано. Спасибо за ценные сведения.

Что касается введения аксиомы существования множества
истинно натуральных чисел, то, к сожалению, консервативным
такое расширение не окажется. Беда в том, что существуют
предложения сигнатуры {\in}, истинные во всех моделях ZFC
с правильными натуральными числами, но не являющиеся
теоремами ZFC. (Для зануд: само собой, мы предполагаем,
что наша любимая ZFC непротиворечива!)

Предоставляя пытливым умам возможность самостоятельно
отыскать такое предложение (:)), предложу поиграть
с еще одним подходом к определению "правильных чисел".

Как мы договорились, истинно натуральное число --
это элемент модели, определяемый формулой вида S_n(x),
формализующей равенство x = 1+1+...+1 (с n слагаемыми).
Но почему мы ограничиваемся таким жестким подходом
к определению истинной натуральности? Есть ведь масса
других формальных свойств, однозначно описывающих
отдельные натуральные числа, в истинной натуральности
которых мы не сомневаемся! Взять, к примеру, упомянутое
ранее "наименьшее число, у которого есть 12 делителей".
Чем не определение одного из истинно натуральных чисел?

Раз пошла такая пьянка, давайте развяжем себе руки
и позволим себе определять натуральные числа любыми
доступными нам средствами (т.е. формулами).
Итак, определение...

Элемент x модели M сигнатуры {\in} назовем определимым,
если существует формула \phi сигнатуры {\in}
с одной свободной переменной такая, что

    M |= \forall y [\phi(y) <=> y=x].
Иными словами, будем называть определимыми те элементы
моделей, которые однозначно описываются унарными формулами.

Теперь простора для определения отдельных натуральных
чисел стало побольше: определимым натуральным числом
в модели M сигнатуры {\in} называется такой ее определимый
элемент x, который внутри M является натуральным числом
(M |= nat(x)).

А теперь -- вопрос. Совпадают ли понятия истинно
натурального числа и определимого натурального числа?

В развернутом самодостаточном виде вопрос звучит так.

    Пусть M -- модель ZFC и пусть x -- элемент M,
    являющийся внутри M натуральным числом (M |= nat(x)).
    Предположим, что существует формула \phi сигнатуры {\in}
    с одной свободной переменной такая, что
    M |= \forall y [\phi(y) <=> y=x].
    Найдется ли тогда n \in N такое, что
    M |= x = 1+1+...+1 (с n слагаемыми)?
(У меня есть, что сказать по этому вопросу. А у вас? :))


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн сен 25, 2006 6:34 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
AGu писал(а):
Что касается введения аксиомы существования множества
истинно натуральных чисел, то, к сожалению, консервативным
такое расширение не окажется. Беда в том, что существуют
предложения сигнатуры {\in}, истинные во всех моделях ZFC
с правильными натуральными числами, но не являющиеся
теоремами ZFC.

Да, конечно, мои подозрения были глубоко ошибочными. У нас даже есть такой факт: существует многочлен с целыми коэффициентами (от нескольких переменных) такой, что у него нет натуральных корней, но в ZFC невозможно это доказать. Это легко выводится из отрицательного решения 10-й проблемы Гильберта, причём никакие специфические свойства ZFC тут не нужны, нужно лишь наличие у неё перечислимого множества аксиом.

Тогда в "ZFC с правильными натуральными числами" будет верно, что корней у него нет, а в самой ZFC нет.

Отсюда сразу получается и ответ на второй вопрос.

AGu писал(а):
Совпадают ли понятия истинно натурального числа и определимого натурального числа?

Если мы закодируем n-ки чисел через одно число, и рассмотрим формулу, которая которая говорит, что x - номер n-ки, которая является корнем того многочлена, и при этом наименьший из возможных, то она будет однозначно задавать "натуральное" число x, которое ни в какой модели ZFC не может быть истинно натуральным числом.

И вернусь к ещё одному вопросу, который мы пока не обсуждали:
AGu писал(а):
Теперь инфа к размыши:
Какие "натуральные числа" существуют (при таком определении)? (Знаю, что бородато. Побрейте, если не лень.)

AGu писал(а):
Pavel E. Alaev писал(а):
Это определение в рамках ZFC эквивалентно предыдущему, а коль скоро уж аксиомы-то из ZFC мы точно признаём, оно обладает теми же недостатками.
Хмм... Не могу согласиться. Если выскочить, например, в теорию фон Неймана -- Геделя -- Бернайса, то -- да, в определенном смысле эквивалентность есть, но если оставаться в рамках ZFC, то при втором определении (через классы эквивалентности) "натуральных чисел" получается гораздо меньше. :)

Формально речь тут идёт о разных предметах: в первом случае о классах, во втором - об ординалах. Но в рамках ZFC доказывается эквивалентность двух вещей:
(1) множество, не равномощное никакому собственному подмножеству
(2) множество, равномощное некоторому натуральному числу.
В силу этого в любой модели ZFC число классов эквивалентности "конечных" множеств будет ровно столько же, сколько "натуральных" чисел.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 26, 2006 8:24 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
существует многочлен с целыми коэффициентами (от нескольких переменных)
такой, что у него нет натуральных корней, но в ZFC невозможно это доказать.
Если имелось в виду существование такого диофантова уравнения,
что в ZFC не доказуемы ни наличие у него решений, ни их отсутствие,
то -- зач0т! :)
Цитата:
Это легко выводится из отрицательного решения 10-й проблемы Гильберта
Не подскажете, как бы это сделать попроще? У меня с ходу не получилось.
Цитата:
Отсюда сразу получается и ответ на второй вопрос.
Ага. Второй вопрос был действительно про то же самое. :)

Впрочем, неконсервативность предложенного выше расширения
можно доказать, оставаясь в рамках стандартного курса логики.
Попробую сделать это так, чтобы мне самому все было понятно.

В качестве примера недоказуемого в ZFC предложения,
истинного во всех моделях с правильными натуральными
числами, можно взять предложение Con, формализующее
непротиворечивость ZFC. (Я имел в виду именно Con,
когда вставлял смайлик и предлагал "отыскать" это
предложение в тексте своего сообщения. :))
Как известно, теоремой ZFC оно не является.
Тем не менее, Con оказывается истинным во всех
моделях ZFC с правильными натуральными числами.

Действительно, рассмотрим множество

    C = { n \in N : n -- гёделев номер какого-либо
      вывода противоречия из аксиом ZFC }.
Это множество, разумеется, рекурсивно и тем самым
может быть представлено в робинсоновской арифметике Q
посредством некоторой (вполне определенной и весьма
навороченной) формулы c(x). Последнее означает, что
для всех n \in N
    n \in C => Q |- c('n'),
    n \notin C => Q |- ~c('n').
(Здесь и ниже ~ -- знак отрицания, а 'n' -- нумерал n,
т.е., грубо говоря, терм 1+1+...+1 с n слагаемыми
или, если поточнее, терм 0''...' с n штрихами.)

Поскольку ZFC в определенном смысле расширяет Q,
мы имеем ZFC |- ~c('n') для всех натуральных n \notin C.
Коль скоро мы предполагаем, что ZFC непротиворечива,
множество C является пустым, а значит, для всех n \in N
    ZFC |- ~c('n').
Следовательно, если M -- модель ZFC, то M |= ~c('n')
для любых n \in N, а если в M все натуральные числа
правильные, то M |= \forall x [nat(x) => ~c(x)].
Осталось вспомнить, что Con -- это и есть предложение
\forall x [nat(x) => ~c(x)]. Таким образом, M |= Con
для любой модели M с правильными натуральными числами.

(По поводу определения натуральных чисел как классов
эквивалентности конечных множеств я выскажусь чуть позже.)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 26, 2006 8:42 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Возвращаясь к теме ветки. Если мы задаёмся вопросом о том, что мы можем доказать про натуральные числа, то неплохой ответ существует - то, что в ZFC можно доказать про свойства элементов, на которых верна формула A(x) (вопрос о том, почему он неплох, требует отдельного рассмотрения). Но как-то странно задаваться вопросом о свойствах объекта до того, как мы поняли, о каком, собственно, объекте идёт речь.

Идея отождествить натуральные числа с ординалами мне очень нравится: почти все математики, знакомые с теорией множеств, наверняка одинаково понимают, что такое пустое множество 0. Следовательно, они одинаково понимают, что такое 1={0}, 2={0,1} и т.д. В итоге мы получаем "интернациональную" систему обозначений, которую можно просто принять в качестве соглашения. Но когда мы хотим определить множество "таких" объектов как множество всех конечных ординалов, у нас возникают проблемы с понятием конечности.

Идея, которую мне на самом деле хочется высказать, состоит в том, что теорию множеств нельзя сводить к ZFC, которая является только инструментом для формализации доказательств. Грубо говоря, ZFC - это 40% теории множеств. Чтобы выстроить полноценную теорию, нужно, кроме неопределяемого понятия множества, пользоваться ещё рядом неопределяемых понятий, в частности, понятием конечного множества.

Оно, кстати, очень естественно: конечное множество - то, которое можно получить из пустого конечным числом операций добавления одного элемента. А понятие конечного числа шагов является интуитивно-очевидным.

Ещё одно интересное неопределяемое понятие - множество всех функций f из N в N, например. Когда мы строим такую f, мы на интуитивном уровне очень хорошо представляем себе, что f(0) можно выбрать N способами, f(1) тоже, и т.д. Любая последовательность выборов такого вида даст нам функцию f. Отсюда легко следует, что множество всех таких функций несчётно. Существование счётных моделей у ZFC означает лишь то, что это понятие обладает только ZFC-определением.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт сен 26, 2006 8:59 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
в любой модели ZFC число классов эквивалентности "конечных" множеств будет ровно столько же, сколько "натуральных" чисел.
Повторюсь: мы ведь имеем дело с теорией множеств,
а не каких-нибудь там классов каких-нибудь там
фон Нейманов, Гёделей или Бернайсов.
Что такое "число один" согласно тому определению?
(Не где-нибудь, а именно в ZFC.)
Из каких элементов это чудовище состоит? :-)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт сен 28, 2006 8:03 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Pavel E. Alaev писал(а):
Чтобы выстроить полноценную теорию, нужно, кроме неопределяемого понятия множества, пользоваться ещё рядом неопределяемых понятий, в частности, понятием конечного множества.

Да, но как выстроить эту теорию? И что при этом следует понимать под теорией? Тут наверняка могут быть разные подходы. Один из них я предложил в своем "тюремном" сообщении. Как я теперь догадываюсь, изначально подразумевался все же некий иной подход. (Какой именно -- я пока не прочувствовал.) Идея в общих чертах понятна, но каковы должны быть принципы ее воплощения?

Одной лишь апелляцией к интуитивной очевидности таких понятий, как конечное множество и функция, на мой взгляд, не обойтись. Без "высшей инстанции" (роль которой до сих пор играла метамодель с ее интуитивным понятием конечного доказательства) мы ведь запросто подеремся: один будет утверждать, что построил множество за конечное число шагов, другой возразит, что хоть это число и конечное, но оно бесконечно большое, третий скажет, что тут все, конечно же, конечно, но он не признает вот эту функцию, так как для нее не приведено построение, а лишь доказано, что она существует, тут снова вмешается второй и отвергнет это доказательство, ибо оно, на его взгляд, бесконечно длинное, четвертый заявит, что о функциях из N в N вообще нельзя говорить, так как их существование опирается на бесконечные последовательности выборов, а что такое бесконечная последовательность, мы интуитивно не чувствуем, (n+1)-й введет неопределяемое понятие бесконечного выбора, (n+2)-й скажет, что (n+1)-й погорячился и что бесконечные последовательности тоже можно строить за конечное число шагов, тут опять вылезет второй и объявит дискуссию логически необоснованной, так как число ее участников стало бесконечно большим.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB