НГУ
http://forum.nsu.ru/

Как определить натуральные числа
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=13968
Страница 4 из 5

Автор:  AGu [ Вт окт 17, 2006 1:48 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Как мы уже согласились, если у уравнения есть истинно-натуральные корни, то этот факт в ZFC доказуем. Следовательно, их точно нет.
А я не про истинно-натуральные корни веду речь. Просто про корни. Вы ведь говорили:
Цитата:
существует многочлен с целыми коэффициентами (от нескольких переменных) такой, что у него нет натуральных корней, но в ZFC невозможно это доказать.
Если нечто невозможно доказать в ZFC, то существует модель ZFC, в которой это нечто является ложным. Вот я и взял такую модель (в качестве метамодели). А в метамодели мы, вроде, пока не договаривались выделять истинно-натуральные числа. Или теперь уже и там пора это делать?
Цитата:
Чтобы объяснить, что такое ZFC, надо сначала объяснить, что такое конечное слово. Так что всё равно без понятия конечности никуда.
В метамодели -- само собой.

Но отвлечемся от метамодели и перейдем к самой теории (или к ее моделям, если угодно). Откровенно говоря, я до сих пор нахожусь в неведении по поводу того, какие принципы предлагается положить в основу "неопределяемого" понятия конечного. Если и аксиоматический, и "тюремный" подходы отвергаются, то каковы альтернативы?

Автор:  AGu [ Вт окт 17, 2006 2:09 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: Pavel E. Alaev: если можно, подробнее

alex_dorin писал(а):
Если можно, подробнее прокомментируйте Ваше определение целого числа в ZF.

Назовем множество индуктивным, если оно содержит 0 и с каждым своим элементом y содержит y+1. Приведенная выше формула утверждает, что x принадлежит любому индуктивному множеству. Таким образом, множество натуральных чисел определяется как пересечение всех индуктивных множеств. Поскольку это пересечение также является индуктивным, оно представляет собой наименьшее индуктивное множество. Остается заметить, что наименьшее индуктивное множество совпадает с множеством всех конечных ординалов. Стало быть, приведенное определение в точности соответствует традиционному подходу.

Автор:  alex_dorin [ Вт окт 17, 2006 3:45 pm ]
Заголовок сообщения:  AGU: параметризация аксиомы бесконечности ZF

В приведенном определении целого числа x N(x) -параметризация аксиомы бесконечности ZF.
Для определения целого числа этого не достаточно.

С уважением
А. Дорин

Автор:  AGu [ Вт окт 17, 2006 4:32 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: AGU: параметризация аксиомы бесконечности ZF

alex_dorin писал(а):
В приведенном определении целого числа x N(x) -параметризация аксиомы бесконечности ZF.
Так можно было бы сказать, если бы в N(x) стоял квантор существования (а не всеобщности) по Y.
(Я послал alex_dorin ICQ-сообщение с предложением пообщаться интерактивно.)

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт окт 17, 2006 7:20 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
Откровенно говоря, я до сих пор нахожусь в неведении по поводу того, какие принципы предлагается положить в основу "неопределяемого" понятия конечного. Если и аксиоматический, и "тюремный" подходы отвергаются, то каковы альтернативы?

Не стану утверждать, что я достаточно ясно излагал свои мысли до этого - у меня не было готовой исходной формулировки. Беседы с Вами, несомненно, приблизили меня к её появлению, за что я Вам признателен. Я лишь настаивал тогда (как и сейчас), что у нас имеются некоторые проблемы с определением натуральных чисел.

Давайте скажу ещё раз, максимально точно и ясно: я не предлагаю отказаться от аксиоматического подхода. Мы признаём, что натуральные числа - грубо говоря, такой объект, для которого выполняется формула nat(x). Всё, что мы сможем доказать про элементы, удовлетворяющие этой формуле, в ZFC, мы признаём верным фактом. Тем самым мы получаем достаточно мощный инструмент доказательства теорем про натуральные числа.

Вопрос в том, что мы можем к этому добавить. Важность этого вопроса обусловлена двумя причинами.
Причина 1. Приняв "аксиоматический" подход, мы тем самым закрываем возможность для дальнейшего развития. Коль скоро натуральные числа по определению есть совокупность объектов, удовлетворяющих формуле nat(x), а множества в целом - аксиомам ZFC, то мы просто в силу этого постулата не можем доказать про них ничего, выходящего за рамки ZFC.

Между тем эта теория неполна, и неполна даже по отношению к довольно простым предложениям, типа существования натуральных корней многочлена. Тем самым возможность её расширения (по крайней мере потенциальная) существует. А чистый аксиоматический подход, повторюсь, блокирует саму возможность этого расширения. Чтобы добавлять к ZFC новые аксиомы, нужно знать про множества что-то ещё, кроме того, что они "удовлетворяют ZFC".

Причина 2. Необходимость преподавать теорию множеств как основание для математики. Пример с антарктическим математиком, который после наших лекций о ZFC вообразит себе "неправильные" натуральные числа, кажется мне достаточно хорошим. Грубо говоря, в результате наших педагогических упражнений он окажется обманутым, а это нехорошо. Коль скоро теория множеств претендует на основание всей математики, она должна быть в этом смысле адекватной, и записи на доске аксиом ZFC для этого отнюдь не достаточно. См. по теме пример высказывания mraleph здесь.

Первое, что нужно сделать - признать, что адекватное изложение теории множеств требует на самом деле использования целого ряда неопределяемых понятий (а не только понятия множества), одним из которых является конечность. Я вовсе не утверждаю, что это позволит нам немедленно получить что-то новое в математике, "улучшив", к примеру, ZFC . Но это даст потенциальную возможность двигаться дальше. Может быть, эта возможность реализуется в будущем. Кроме того, мы избавимся (в некоторой степени) от необходимости маловразумительно мямлить, отвечая на некоторые вопросы студентов.

Автор:  AGu [ Вт окт 17, 2006 8:20 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Приняв "аксиоматический" подход, мы тем самым закрываем возможность для дальнейшего развития. Коль скоро натуральные числа по определению есть совокупность объектов, удовлетворяющих формуле nat(x), а множества в целом - аксиомам ZFC, то мы просто в силу этого постулата не можем доказать про них ничего, выходящего за рамки ZFC.
Верно, но позволив себе расширить сигнатуру, мы сможем ввести новые аксиомы (желательно консервативные) для новых понятий (той же "истинной конечности", например) ну и подоказывать кое-что новенькое про них. Впрочем, как мне показалось, этот подход по каким-то причинам отвергается. (Собственно, это я и имел в виду в предыдущем посте.)
Цитата:
Первое, что нужно сделать - признать, что адекватное изложение теории множеств требует на самом деле использования целого ряда неопределяемых понятий (а не только понятия множества), одним из которых является конечность.
OK, это первое. А что второе? Допустим, этот шаг сделан и общественность готова рассмотреть предлагаемые нововведения. Какими они будут -- хотя бы приблизительно? (Я ни капельки не иронизирую, я искренне интересуюсь!)

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт окт 17, 2006 8:26 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
OK, это первое. А что второе? Допустим, этот шаг сделан и общественность готова рассмотреть предлагаемые нововведения. Какими они будут -- хотя бы приблизительно? (Я ни капельки не иронизирую, я искренне интересуюсь!)

Дык я бы давно написал, если бы хотел предложить что-то конкретное. Ответ - не знаю.

Но не делая этого первого шага, мы гарантируем отсутствие следующих. А так хоть надежда есть.

Автор:  AGu [ Вт окт 17, 2006 8:35 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Дык я бы давно написал, если бы хотел предложить что-то конкретное. Ответ - не знаю.
Ааа... Уфф... А я-то негодовал про себя: ну чего же это он не колется, что ему еще-то надо? :) И все наезжал да наезжал... Пожалуй, теперь я должен извиниться: я неправильно понимал ситуацию! (На всякий случай: тут опять все искренне, никакой иронии.)

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт окт 17, 2006 11:08 pm ]
Заголовок сообщения: 

Впрочем, даже этот первый шаг уже во многом полезен: он даёт возможность сформулировать более "честное" определение натурального числа, или, например, позволяет объявить словосочетание "парадокс счётной модели ZFC" нелепицей - счётные модели у нас есть, но никакого парадокса нет.

Ну ещё, пожалуй, предложу шаг номер 1.5: если формула En(x) говорит, что x=1+...+1 (n раз), то бесконечную "формулу"
nat(x) <=> U_{n} En(x)
мы, конечно, признаём верной. Но поскольку она всё равно не встраивается в понятие конечного доказательства в логике первого порядка, этот факт никаких практических следствий иметь не будет.

Замечу ещё раз, что аксиоматический подход в той части, которая касается понятия конечности, видимо, исчерпал свои возможности: если мы заводим предикат P(x), выделяющий конечные ординалы, то при сколько-нибудь разумной аксиоматике для него получаем эквивалентность
P(x) <=> nat(x).
Потенциальное расширение ZFC может произойти где-нибудь в другом месте. Формула выше может оказаться полезной, если в будущем мы по каким-то причинам захотим отказаться от диктата логики первого порядка.

Автор:  alex_dorin [ Ср окт 18, 2006 12:32 am ]
Заголовок сообщения:  предикат N(x) x - целое число выразим в логике 1-го порядка

Предикат N(x) x - целое число выразим
в логике 1-го порядка в ZF.

Автор:  AGu [ Ср окт 18, 2006 3:40 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Замечу ещё раз, что аксиоматический подход в той части, которая касается понятия конечности, видимо, исчерпал свои возможности: если мы заводим предикат P(x), выделяющий конечные ординалы, то при сколько-нибудь разумной аксиоматике для него получаем эквивалентность
P(x) <=> nat(x).

Не могу сказать, что полностью согласен. Следующую
аксиоматику, на мой взгляд, вполне можно назвать разумной:
    \forall x [ P(x) => nat(x)],
    P(0),
    \forall x [ P(x) => P(x+1) ].
Тем не менее, из нее не выводится эквивалентность
\forall x [ P(x) <=> nat(x) ] (как, впрочем, и ее отрицание).
Но, кажется, я понимаю, где тут может быть "неразумность":
стоит добавить аксиому
    \exists X \forall x [x \in X <=> P(x)],
как упомянутая эквивалентность сразу становится выводимой.

А вот с чем я согласен -- так это с тем, что никакие аксиомы
не смогут обеспечить эквивалентность P(x) и "истинной конечности".
Если эта эквивалентность является для нас обязательной
(кстати, является?), то аксиоматический подход отпадает.

Теперь -- для того, чтобы двигаться в правильном направлении, --
хотелось бы понять, чем плох "тюремный" подход.
Не откажетесь покритиковать?

Автор:  AGu [ Ср окт 18, 2006 8:01 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: предикат N(x) x - целое число выразим в логике 1-го пор

alex_dorin писал(а):
Предикат N(x) x - целое число выразим в логике 1-го порядка в ZF.
Этого никто не отрицает. Просто мы тут фантазируем о разных подходах к определению натуральных чисел -- в том числе об "истинных", невыразимых в этой логике.

Автор:  alex_dorin [ Чт окт 19, 2006 1:06 pm ]
Заголовок сообщения:  AGU: несовместимость с ZF

Указанная Вами формула: exists X \forall x [x \in X <=> P(x)]
несовместима с ZF.

Автор:  AGu [ Чт окт 19, 2006 3:36 pm ]
Заголовок сообщения: 

Мы пообщались с alex_dorin по ICQ. Недоразумения (как мне показалось) сняты.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт окт 24, 2006 12:49 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
Теперь -- для того, чтобы двигаться в правильном направлении, --
хотелось бы понять, чем плох "тюремный" подход.
Не откажетесь покритиковать?

Ну, собственно, мы его в некотором смысле используем - когда мы говорим, что формула
nat(x) <=> U_{n} En(x)
считается верной, мы тем самым ограничиваем класс моделей ZFC, которые хотим рассматривать. Но это не так важно - вопрос, который мы обязаны решить, состоит не в том, какие у нас есть модели (его и сформулировать трудно), а в том, что такое доказательство данного факта. Пока ничего рабочего, кроме аксиоматики первого порядка, у нас нет.

В этом смысле тюремный подход слишком сильный - условие ограниченности класса моделей надо как-то "спускать на землю", превращая его в конкретные методы доказательства.

С другой стороны, он слишком слаб. Когда мы говорим об аксиомах для какой-то области математики, мы всегда должны стремиться к максимальной полноте - чтобы всё, что нас интересует, либо выводилось из наших аксиом, либо опровергалось ими. Полностью решить эту проблему не всегда возможно, но надо, грубо говоря, стараться.

В этом смысле аксиома о существовании множества натуральных чисел, о которой Вы говорили,
\exists X \forall x [x \in X <=> P(x)],
конечно же должна у нас быть. Это то, с чего начиналась теория множеств. Кантор, размышляя о множествах вообще, наверняка в первую очередь думал именно о нём.

Страница 4 из 5 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/