НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср июн 19, 2019 6:48 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: нечисловая измеримость?
СообщениеДобавлено: Пт май 19, 2006 7:24 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Кто-нибудь изучал измеримость с такой (общеалгебраической) точки зрения? Я имею ввиду вообще, а не только на форуме :)

Рассмотрим некоторую решетку с нулем и обозначим операцию объединения непересекающихся элементов символом +. Это будет лишь частично определенная операция. Тогда измерением (в нечисловом смысле) логично было-бы назвать такое сюръективное отображение f решетки в множество M, что + индуцирует моноид на M.

Более подробно, обозначим как F(x) множество прообразов при отображении f элемента x из M. Рассмотрим два элемента a и b множества M. Тогда для любой пары непересекающихся элементов A и B, выбраных из F(a) и F(b) соответственно, f(A+B) должны совпадать. Такой элемент с = f(A+B) множества M мы и будем считать "суммой мер" a и b.

Это повторено <a href="http://algebraic-brain.livejournal.com/4548.html">здесь</a>.


Последний раз редактировалось austin Пт май 26, 2006 2:12 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс май 21, 2006 3:38 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Мою формулировку можно слегка видоизменить так, чтобы изучать "в одном флаконе" меры и метрики.

Рассмотрим нижнюю полурешетку с нулем. Введем частичную операцию + как объединение двух объектов таких, что их пересечение равно 0 (она совсем не всегда определена, т.к. мы не требуем чтобы это была решетка :) ).

Примеры:
- несвязное объединение множеств.
- объединение соприкасающихся на концах ломаных в R^n.
- конкатенация путей в моем пространстве путей.

Теперь повторяем в точности то, что раньше: отображаем объекты в множество M сюръективно так, чтобы получился моноид.


Последний раз редактировалось austin Ср май 31, 2006 9:12 pm, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 23, 2006 5:42 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Хорошо, еще один способ сформулировать тему.

Рассмотрим <b>частичный</b> коммутативный моноид, т.е. множество с выделенным элементом 0 и <b>частичной</b> операцией +, которая коммутативна и ассоциативна, причем для любого элемента x верно x+0=x.

Нужно описать такие конгруэнции данного частичного моноида, что фактор-моноид всегда является просто моноидом (не частичным, а полным). Под конгруэнцией я, как всегда, понимаю эквивалентность, стабильную относительно операции частичного моноида.

Как наиболее интересный для меня частный случай рассматриваем нижнюю полурешетку с нулем. Операция частичного моноида a+b задается как наименьшая верхняя грань множества {a, b}, если она определена и наибольшая нижняя грань равна 0.

Ясно, что конгруэнции образуют частично-упорядоченное множество, желательно было бы понять его структуру, а так-же требования к полурешетке, в которой множество таких конгруэнций в каком-то смысле нетривиально (пока не могу понять точно в каком).

Если есть какие-нить ссылки, я буду очень благодарен. Спасибо.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: кажется, нашел нечто похожее
СообщениеДобавлено: Вт май 30, 2006 9:19 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Кажется, нашел нечто похожее:

http://www.math.unicaen.fr/~wehrung/Gore.pdf

и оно-же в arxiv'e:

http://arxiv.org/abs/math/0403057

Подход отличается, но очень похоже... Кто-нить русскоязычный этим занимается?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: нечисловая измеримость?
СообщениеДобавлено: Ср май 31, 2006 3:59 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
austin писал(а):
Рассмотрим некоторую решетку с нулем и обозначим операцию объединения непересекающихся элементов символом +. Это будет лишь частично определенная операция. Тогда измерением (в нечисловом смысле) логично было-бы назвать такое сюръективное отображение f решетки в множество M, что + индуцирует моноид на M.

Более подробно, обозначим как F(x) множество прообразов при отображении f элемента x из M. Рассмотрим два элемента a и b множества M. Тогда для любой пары непересекающихся элементов A и B, выбраных из F(a) и F(b) соответственно, f(A+B) должны совпадать. Такой элемент с = f(A+B) множества M мы и будем считать "суммой мер" a и b.

У меня вопрос по этому определению: что означают слова об индуцировании моноида? Если пользоваться определением из второго абзаца, то возможна ситуация, когда в F(a) и F(b) вообще не найдётся непересекающихся элементов.

Означает ли это, что a+b может быть чем угодно? Или же описанная ситуация в принципе не должна иметь место?

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: нечисловая измеримость?
СообщениеДобавлено: Ср май 31, 2006 9:09 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Pavel E. Alaev писал(а):
Означает ли это, что a+b может быть чем угодно? Или же описанная ситуация в принципе не должна иметь место?


Нет, хотелось бы, чтобы каждая индуцированная сумма определялась хотя-бы одним содержательным объединением. Вашими словами, "описанная ситуация в принципе не должна иметь место".

на самом деле мне интересно все по отношению к <b>нижним полурешеткам с нулем</b>. Тогда несвязное объединение может не быть определенным по двум причинам:

1. элементы пересекаются
2. объединение не определено

Но и в этом случае ответ на Ваш вопрос остается таким же. Т.е. меня интересует, в том числе, и характеризация таких полурешеток, в которых подобные конгруэнции (удовлетворяющие Вашему требованию) возможны.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт июн 08, 2006 10:29 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Austin,
Вы у себя в ЖЖ спрашивали про то, может ли решётка измеряться комплексными числами. Видимо, тут вообще любой коммутативный моноид сгодится. Можно рассмотреть такую общую конструкцию.

Пусть (M, 0, +) - коммутативный моноид. Построим решётку L так: поместим в неё 0 и кучу атомов так, чтобы их было не меньше, чем элементов в M. К атомам добавим ещё всевозможные их конечные объединения.

Если каждому атому присвоить некую "меру" из моноида, то эта мера естественным образом продолжается на всю решётку: если x - объединения атомов p1,...,pk, то мера x равна сумме мер p1,...,pk. Если каждый элемент моноида будет мерой некоторого атома, то получится нужная нам конструкция.

Мне, честно говоря, кажется, что у Вас получился слишком широкий класс объектов. В таких случаях часто бывает трудно сказать о нём что-то интересное.

_________________
Не беги от снайпера - умрёшь усталым


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт июн 09, 2006 1:28 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Pavel E. Alaev писал(а):
Austin,
Вы у себя в ЖЖ спрашивали про то, может ли решётка измеряться комплексными числами. Видимо, тут вообще любой коммутативный моноид сгодится. Можно рассмотреть такую общую конструкцию.

Пусть (M, 0, +) - коммутативный моноид. Построим решётку L так: поместим в неё 0 и кучу атомов так, чтобы их было не меньше, чем элементов в M. К атомам добавим ещё всевозможные их конечные объединения.

Если каждому атому присвоить некую "меру" из моноида, то эта мера естественным образом продолжается на всю решётку: если x - объединения атомов p1,...,pk, то мера x равна сумме мер p1,...,pk. Если каждый элемент моноида будет мерой некоторого атома, то получится нужная нам конструкция.

Мне, честно говоря, кажется, что у Вас получился слишком широкий класс объектов. В таких случаях часто бывает трудно сказать о нём что-то интересное.


Спасибо за это рассуждение. Мне трудно выбрать нужный класс объектов, т.к. я не математик. Я могу лишь привести примеры: обычная теория меры, длины кривых в евклидовом (если полурешетка не включает точки или "точечные кривые"), пути в моем "пространстве путей". Кажется, в этих примерах естественным образом появляются некоторые ограничения на <b>атомность</b>.

Но Ваше рассуждение показывает лишь то, что для любого коммутативного моноида можно построить измеримую им решетку. Какой класс решеток можно измерить комплексными числами (или другим моноидом)? <b>Какой класс измеримостей задается некоторой данной решеткой?</b>


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн мар 19, 2007 5:21 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вт апр 25, 2006 1:19 pm
Сообщения: 18
Pavel E. Alaev писал(а):
Austin,
Вы у себя в ЖЖ спрашивали про то, может ли решётка измеряться комплексными числами. Видимо, тут вообще любой коммутативный моноид сгодится. Можно рассмотреть такую общую конструкцию.
...


Pavel, я придумал как Вашу конструкцию применить для построения достаточно "разумных" абстрактных мер для широкого класса нижних полурешеток с нулем (в дальнейшем для краткости просто "полурешеток"). Приведу общую идею.

Назовем атомарно-измеримой (АИ-) полурешетку, в которой из наличия sup некоторого подмножества элементов следует атомная порожденность каждого элемента из этого подмножества. В атомарно-измеримых полурешетках возможно применить Вашу стратегию построения измерительного моноида.

Рассмотрим теперь малые категории АИ-полурешеток с некоторыми дополнительными требованиями, которые я пока опущу - они достаточно естественны. Например, это могут быть просто цепи полурешеток с нетривиальными мономорфизмами. Каждую такую категорию можно естественным образом рассматривать как полурешетку (а именно нижнюю полурешетку с нулем). Элемент такой полурешетки будем строить, выбирая из каждого объекта категории по одной точке согласованным образом, так чтобы морфизмы переводили выбранную точку в выбранную (для этого наши категории должны строиться как предпучки АИ-полурешеток над качумами). Упорядочение определяется поточечно. Очень широкий класс нижних полурешеток можно построить таким образом (а может и вообще любые нижние полурешетки с нулем?).

Теперь, выбрав по Вашему рецепту для каждого объекта такой малой категории некоторый измерительный моноид, мы образуем большой моноид, определяя бинарную операцию в нем пообъектно. Можно показать, что именно таким образом, с небольшими уточнениями, построено измерение отрезков числовой прямой действительными числами (объекты малой категории = разряды действительного числа).

Хотелось бы написать по этому поводу статью, но нужно как-то все это додумать, а знаний не хватает :(.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB