НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср фев 20, 2019 3:57 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн мар 19, 2007 1:51 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Pavel E. Alaev писал(а):
Если бы им удалось построить эту теорию, задав в явном виде список аксиом, это было бы замечательным достижением математики. Кажется, эта идея называлась программой Гильберта...


По-моему, программа Гильберта --- это нечто другое. Цель программы Гильберта заключалась в том, чтобы показать непротиворечивость ZFC т. н. "финитарными" средствами, т. е. с опорой только на такие утверждения, при доказательстве которых не используются актуально бесконечные множества.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Математическое знание
СообщениеДобавлено: Пн мар 19, 2007 10:57 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вс мар 11, 2007 7:55 pm
Сообщения: 8
Pavel E. Alaev
Тезис
Цитата:
Конечной целью работы математиков является построение полных разрешимых теорий.

Возражение против первой защиты Павлом, предложенного тезиса
Если нам дан класс объектов K и на нем заданы два предиката (или все что угодно), или более обще, если мы имеем (алгебраическую) систему, то мы имеем больше нежели (полную и разрешимую) теорию этой системы. Другими словами, нужда в теории отпадает, т.к. сам способ задания системы K содержит все, что надо знать о K, чтобы она была задана (была полностью определена). Как (по индукции) определяется истинность формул (и значение термов) в системе, таким же самым образом мы можем получать истинные утверждения о данной конкретной системе, т.к. знания системы K должно обеспечивать на каждом индуктивном шаге возможность удостовериться в истинности одних и ложности других формул. Поэтому первый пример на самом деле защищает тезис, что конечной целью работы математиков является построение или задание системы.

Возражение против второй защиты Павлом, предложенного тезиса
Я согласен, что математики пришли к идее системы всех множеств (Я не называю систему классом, т.к. "класс" скорее указывает лишь на носитель системы.) Но способа задать систему всех множеств у математиков не было помимо аксиоматического его определения. Другими словами, задания системы всех множеств на самом деле осуществлено не было. Тем не менее, стремление аксиоматически задать систему множеств у математиков была, поэтому они разделяли защищаемый Павлом тезис. Но поскольку впоследствии они отказались от своей задачи и даже усомнились в возможности ее осуществления, то они отказались и от этого тезиса.

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 20, 2007 7:06 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Alexandr писал(а):
Принятие подобного тезиса позволит вполне точно отличать математиков от прочих матиков. ... в математике всё просто: не занят созданием полной разрешимой теории - собирай фантики.

Такой критерий был бы в чём-то полезен. Но сомнительно, что исходный тезис может применяться как практический инструмент, это видно уже из первого примера. Скорее он мог бы быть интересен как некоторый философский ориентир, причём не столько для человека, пишущего конкретную статью, сколько для разработки больших направлений.

Программирование в смысле процесса создания программ и правда не является математикой, статус прикладной математики тоже часто подвергается некоторому сомнению.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 20, 2007 7:38 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Sashamandra писал(а):
Если нам дан класс объектов K и на нем заданы два предиката (или все что угодно), или более обще, если мы имеем (алгебраическую) систему, то мы имеем больше нежели (полную и разрешимую) теорию этой системы. Другими словами, нужда в теории отпадает, т.к. сам способ задания системы K содержит все, что надо знать о K, чтобы она была задана (была полностью определена). Как (по индукции) определяется истинность формул (и значение термов) в системе, таким же самым образом мы можем получать истинные утверждения о данной конкретной системе, т.к. знания системы K должно обеспечивать на каждом индуктивном шаге возможность удостовериться в истинности одних и ложности других формул. Поэтому первый пример на самом деле защищает тезис, что конечной целью работы математиков является построение или задание системы.

Вы пишете вполне верные вещи о системах, но математикам (и другим людям) обычно бывает недостаточно знать, что их вопрос имеет какой-то ответ, хочется ещё и получить этот ответ. Определение истинности формул гарантирует нам, что любое предложение либо истинно в системе, либо ложно. Но мы не всегда знаем, что именно имеет место.

Когда мы говорим о построении разрешимой теории, мы подразумеваем явное указание алгоритма, который даёт ответы на все вопросы, формулируемые в виде предложений. Из индуктивного определения формул не вытекает ни существование такого алгоритма, ни способ как-то указать его. То есть какое-то абстрактное задание системы не даёт нам, вообще говоря, никакого нового знания о ней.

С другой стороны, имея систему, состоящую из конкретных элементов, можно заниматься её "познанием" бесконечно долго. Например, если речь идёт о каком-либо естественном универсуме всех множеств. В этом случае мы ничего более содержательного, чем слова One
Цитата:
Вывод: математика скорее состоит из конкретных задач, чем из "теорий", и задачи эти рождаются как практикой, так и игрой ума. А математики - это скорее те, кто эти конкретные задачи решают, а не строят "теории".

сказать не сможем. То есть практически ничего (в этом нет ничего страшного).

Между тем подход к изучению универсума всех множеств через его элементарную теорию оказался весьма плодотворным - он позволил как создать ZFC, так и понять, что задача в исходной постановке неразрешима. Некоторая программа исследований была поставлена, выполнена и закрыта.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 20, 2007 10:54 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вс мар 11, 2007 7:55 pm
Сообщения: 8
Pavel E. Alaev
Цитата:
Вы пишете вполне верные вещи о системах

Вы тоже пишете верные вещи, но не о том, о чем я говорю. Попробую объяснить на примере. Любое натуральное число либо четное, либо нечетно. Отсюда следует, что "n - четное" будет либо истинным, либо ложным. В том случае, когда натуральное число нам дано, мы не только знаем, что оно четное или нечетное, но мы можем ответить на вопрос о его четности.

Аналогичным образом дело обстоит с системами. Когда Вы теоретически рассуждаете о системе, Вы можете определить понятие истинности формул. Но если система каким-то образом Вам дана, то тот способ, каким она задана, дает Вам дополнительное знание, позволяющее для каждой формулы выяснить, истина они или нет. Если же эти дополнительные знания не позволяют это выяснить, значит, система еще неполностью задана, а является представителем некоторого класса неэквивалентных систем.

Цитата:
абстрактное задание

Очень по-русски - говорить абстрактно о конкретном. Это все потому, что у нас нет определенных артиклей. Надо определиться. Если Вы начинаете от системы и желаете для нее построить теорию, то система должна быть конкретной, чтобы не получилось как в сказке: построй то, не зная что!

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Математическое знание
СообщениеДобавлено: Ср мар 21, 2007 5:49 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн сен 13, 2004 12:08 am
Сообщения: 406
Sashamandra писал(а):
Как (по индукции) определяется истинность формул (и значение термов) в системе, таким же самым образом мы можем получать истинные утверждения о данной конкретной системе, т.к. знания системы K должно обеспечивать на каждом индуктивном шаге возможность удостовериться в истинности одних и ложности других формул.
Вы игнорируете один факт: система K может быть бесконечной, и тогда проверка истинности прямо по определению даже для формулы с одним квантором уже, вообще говоря, невозможна. Классический пример системы, в которой такая проверка действительно не проходит (т.е. элементарная теория этой системы неразрешима) - натуральные числа.

_________________
КТО ИЩЕТ СМЫСЛ - ТОТ ГЛЯДИТ НА НЕБЕСА...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср мар 21, 2007 4:17 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Sashamandra писал(а):
... если система каким-то образом Вам дана, то тот способ, каким она задана, дает Вам дополнительное знание, позволяющее для каждой формулы выяснить, истина они или нет. Если же эти дополнительные знания не позволяют это выяснить, значит, система еще неполностью задана, а является представителем некоторого класса неэквивалентных систем.

SMS привёл хороший пример - натуральные числа со сложением и умножением разумно считать заданными в явном виде (хотя кто-то может и попробовать это оспорить), а если мы соглашаемся с этим, то получаем систему, у которой даже \exists-теория неразрешима.

Совсем конкретный пример: явное задание системы очень мало помогает понять, например, существуют ли такие ненулевые x,y,z, что
x^3 + y^3 = z^3.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 22, 2007 8:54 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вс мар 11, 2007 7:55 pm
Сообщения: 8
    SMS
    Pavel E. Alaev
Мне хорошо понятно возмущение, звучащее в ваших вопросах. Но ваши вопросы не по адресу. Я не утверждал, что могу задать бесконечную систему. Но раз вы считаете, что система вами задана, то... и далее по тексту.

Пример с натуральными числами на самом деле хороший, т.к. конкретный. О каком задании системы натуральных чисел вы говорите? Раз вы не можете получить ответы на ваши вопросы, у меня возникает подозрение, что систему вы все же не задали. Подозрение усиливается также и из общих соображений. Я не буду вспоминать древних философов, которые сомневались даже в существовании бесконечности, не говоря уже о том, чтобы задать ее в разуме. Ограничусь лишь приснопоминаемым стариком Гильбертом. Его пафос можно выразить в следующих словах.

Бесконечность чрезвычайно полезная штука в математике. Она является сверхценностью для нас, и мы не никому не позволим ее у нас отнять. Давайте притворимся, что мы задали бесконечность. Если нам удастся финитными методами доказать, что из такого обмана не следуют явных противоречий, то большинство математиков обман и не заметит. А специалисты на обман закроют глаза ради тех выгод, которые бесконечность сулит.

Но даже этот обман не удалось замести под ковер.

Из общих соображений представляются три стратегии задания системы натуральных чисел.

    1. Аксиоматический с помощью теорий типа Пеано. Но теория Пеано не задает систему натуральных чисел. Она лишь сужает класс систем, к которым система натуральных чисел принадлежит.

    2. С помощью другой теории, например, теории множеств. В теории множеств система натуральных чисел задается определенным образом. Но сама теория множеств не задает систему множеств, теория множеств лишь сужает класс систем, к которым система множеств принадлежит. Поэтому система натуральных чисел задана в каждой системе множеств своя.

    3. С помощью философских аргументов от вариантов платонизма. Мы можем верить, что система натуральных чисел задана Кем-то. Это обосновывает нашу веру в закон исключенного третьего: хотя мы не знаем для любой формулы истина она или нет, но Он-то знает. К сожалению, как Он сказал: "Мои мысли - не ваши мысли, ни ваши пути - пути Мои". Поэтому мы не можем воспользоваться Его знанием для решения тех вопросов, которые вы предложили.

Я не утверждаю, что под этим списком следует подвести черту. Я лишь утверждаю, что задание системы натуральных чисел по одной из указанных стратегий вызовет с моей стороны критику.

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб мар 24, 2007 10:04 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Sashamandra писал(а):
Из общих соображений представляются три стратегии задания системы натуральных чисел.

    1. Аксиоматический с помощью теорий типа Пеано. Но теория Пеано не задает систему натуральных чисел. Она лишь сужает класс систем, к которым система натуральных чисел принадлежит.

    2. С помощью другой теории, например, теории множеств. В теории множеств система натуральных чисел задается определенным образом. Но сама теория множеств не задает систему множеств, теория множеств лишь сужает класс систем, к которым система множеств принадлежит. Поэтому система натуральных чисел задана в каждой системе множеств своя.

    3. ...


А вот если мы в списке аксиом Пеано запишем аксиому индукции в виде утверждения второго порядка, с квантором по всем подмножествам системы? Это какой способ задания тогда получается: первый или второй?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс мар 25, 2007 3:26 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Вс мар 11, 2007 7:55 pm
Сообщения: 8
    Коба
Цитата:
Это какой способ задания тогда получается: первый или второй?

Согласно первой и второй стратегии систему натуральных чисел пытаются задать с помощью аксиоматической теории. В этом топике термин "теория" встречался уже, по крайней мере, в трех разных смыслах. Под аксиоматической теорией здесь понимается конечно обозримая система аксиом (схемы аксиом) и конечно обозримая система правил вывода. Если носитель системы натуральных чисел определяется в теории только через свойства элементов носителя, то такая теория будет принадлежать к первой стратегии. Если же в теории представлен как самостоятельный элемент сам носитель, то такая теория будет принадлежать второй стратегии.

В Вашем примере переменная, которая "пробегает" подмножества множества натуральных чисел, в частном случае имеет своим значением "множество натуральных чисел". Поэтому такая теория принадлежит второй стратегии. В скобках замечу, что Вашу теорию будет лучше сформулировать как теорию первого порядка с двумя сортами переменных.

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт мар 27, 2007 7:47 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Sashamandra писал(а):
...
Из общих соображений представляются три стратегии задания системы натуральных чисел. ...

Я не утверждаю, что под этим списком следует подвести черту. Я лишь утверждаю, что задание системы натуральных чисел по одной из указанных стратегий вызовет с моей стороны критику.

Соглашусь с Вами, что ни один из способов не является полностью удовлетворительным. Первые два точно никуда не годятся, а третий сформулирован довольно расплывчато, но тоже внушает сомнения. Выше уже была ссылка на другую ветку, в которой участники всласть порассуждали о проблемах, связанных с определением натуральных чисел. Мне, кстати, больше всего нравится идея (я её там пытался высказать), что понятие натурального числа является интуитивно очевидным для психически здорового и получившего среднее образование человека. Точнее, понятие конечного числа шагов, через которое его можно определить.

Но речь сейчас о другом. Множество натуральных чисел - то, с чего в некотором смысле начинается математика, и если мы отвергаем даже его, то рассуждать о математическом знании вообще нам точно не следует. В противном случае нужно признать это множество в каком-либо виде.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср мар 28, 2007 7:21 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Третий пример, и снова в защиту тезиса.

Долгое время одним из основных объектов математики были вещественные числа, позже к ним добавились комплексные. Одной из основных задач было решение уравнений. Долгая и упорная работа с этими понятиями увенчалась доказательством общего факта: что элементарные теории полей вещественных и комплексных чисел разрешимы. В частности, "основная теорема алгебры" про существование комплексного корня для любого уравнения стала частью общего алгоритма.

Отсюда, кстати, видна общая закономерность, придающая тезису правдоподобность: когда математики долго работают в какой-то области, у них к конце концов формируется некоторый список основных объектов и связывающих их отношений, которые их интересуют. Тем самым возникает структура, и встаёт вопрос об её элементарной теории.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт апр 12, 2007 6:16 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Четвёртый пример, в опровержение.

Если попробовать переписать задачу классификации конечных простых групп в терминах структур, то один из естественных вариантов будет выглядеть так. Основной класс, который нас интересует - все конечные группы, которые мы берём в качестве носителя. Чтобы избежать коллизии с тем, что у каждой группы есть очень много изоморфных копий, будем считать, что любая конечная группа имеет своим собственным носителем конечное подмножество натурального ряда.

Поскольку все конечные группы сугубо индивидуальны, добавим в язык счётное множество констант c0, c1, c2, ..., по одной для каждой группы. Считаем при этом, что по номеру константы ci мы легко (и алгоритмично) можем восстановить соответствующую группу, то есть её носитель и табличку для операции умножения.

Первое отношение, которое нам очевидно необходимо - двухместный предикат изоморфности. Для каждой константы ci существует счётное множество других элементов, которые задают изоморфные ей группы. И для нашей задачи нужен предикат S(x), который выделяет простые группы.

Теория такой структуры будет разрешима. Это легко вытекает из того, что истинность предложений S(ci) мы можем проверять с помощью некоторого алгоритма, просто перебирая все нормальные подгруппы в ci. Недостаточность этого факта вытекает из того, что перебор не всегда будет достаточно скор. Классификацию конечных простых групп можно тогда рассматривать как попытку найти более быстрый алгоритм проверки. Т.е. вслед за установлением разрешимости возникает разумная задача ускорять имеющиеся алгоритмы.

Вот, кстати, любопытно - если мы возьмём предикат изоморфности и двухместный предикат "быть подгруппой", то будет теория разрешимой?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB