НГУ

Хочу предложить для обсуждения некий общий тезис: конечной целью работы математиков (к которой они так или иначе стремятся) является построение полных разрешимых теорий. Возможно, он звучит слишком кратко и радикально, но что содержательного можно сказать в его защиту, или наоборот?

Первый пример, в защиту. Пусть у нас есть некоторый класс объектов K, и мы рассматриваем два понятия (предиката) P1(x) и P2(x) на этом классе. Тогда у нас естественным образом возникает структура (aka модель, алгебраическая система)
(K, P1, P2, =).
А так называемые "естественные" вопросы, относящиеся к нашей теме, превращаются в предложения логики первого порядка, касающиеся этой системы. Например, верно ли, что любой объект, удовлетворяющий свойству P1, удовлетворяет и P2, или есть контрпример. Верно ли, что существуют объекты, удовлетворяющие свойствам P1 и P2 одновременно. Верно ли, что существует ровно один объект с таким свойством.

Найдя ответы на эти вопросы, мы построим элементарную теорию нашей системы. Она заведомо будет разрешимой, поскольку у систем с конечным числом одноместных предикатов теория всегда разрешима. Мы сможем указать алгоритм, который отвечает на любой естественный вопрос - и познание объекта будет в некотором смысле завершено.

Оччч спорный тезис. Настолько спорный, что я даже теряюсь, что конкретно-то и написать... Надо сначала как следует подумать...

_________________
КТО ИЩЕТ СМЫСЛ - ТОТ ГЛЯДИТ НА НЕБЕСА...

Так ведь, математики все время придумывают какие-то новые предикаты P3, p4 и так далее. Потому как часто не могут
ответить на вопросы, связанные с первыми двумя.

То есть,
на деле про P1,P2 как-то забывают и давай новое наворачивать,
якобы для того, чтобы прояснить ситуацию с P1,P2, а на самом деле
потому что надо кандидатскую или докторскую защитить, а
традиция в выборе предмета исследования для данной лаборатории
уже определена авторитетами.

В общем, туманненько это все.

В Вашем посте столько верных мыслей, что глаза разбегаются.

Действительно, у математиков далеко не всегда получается найти нужные ответы, и построить полную теорию. Это означает, что цели исследований достичь не удалось. Но ведь сама цель от этого не становится хуже.

Вы совершенно верно отмечаете, что математическая работа состоит не только из исследования свойств неких предикатов, но из их создания. Предикаты P1 и P2 тоже ведь откуда-то взялись. Это можно рассматривать как контраргумент к исходному посту. Вопрос о появлении новых понятий в математике сложный, я не возьмусь его обсуждать. Но в любом случае сами по себе определения обычно не являются конечной целью работы, важны их свойства. С определений работа начинается, но не заканчивается ими. Картина особенно ясна, если новые понятия приходят откуда-то со стороны.

Часто для того, чтобы исследовать исходные понятия P1 и P2, приходится заводить какие-то новые. Иногда это оказывается очевидно необходимым, иногда происходит в расчёте на удачу, или ещё как-нибудь. Иногда большое влияние оказывают авторитеты. Это просто немного другая тема.

Я не возьмусь утверждать, что в математике невозможна ситуация, когда новые понятия заводятся только для того, чтобы их поиследовать и что-нибудь защитить. Но если всё сводится только к этому, мы получаем пародию на учёного, а в этой ветке предлагается обсуждать науку саму по себе.

Pavel E. Alaev

Прошу прощения, я не уловил, что Ваш тезис утверждает. Хотите ли Вы сказать, что ответов на "естественные вопросы" будет достаточно, чтобы теория стала полной? Или Вы вводите новое понятие "естественная полнота теории" и предлагаете математикам удовлетвориться изучением этих теорий? Или же что-то иное?

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!

[quote="Pavel E. Alaev"][/quote]

А мне вот кажется, что "конечная цель" работы математика вообще вряд ли формализуема (к счастью). Например, то что вы пишете скорее относится к методу, чем к цели. Причем к методу отнюдь не подменяющему математику вообще, а лишь к одному из многих.

Например, бывает, что нестрогие рассуждения приводят к появлению новый идей. Очень часто все эти рассуждения постфактум кем-то абсолютно строго доказываются, но возникает вопрос: что ближе к истинной по духу меатематике? Что представляет большую ценность? Я могу привести конкретные примеры, но я думаю их многие и сами знают.

Вывод: математика скорее состоит из конкретных задач, чем из "теорий", и задачи эти рождаются как практикой, так и игрой ума.
А математики - это скорее те, кто эти конкретные задачи решают, а не строят "теории". А задачи, наверное, тем интереснее, чем дольше они стоят - хотя это уже достаточно спорно...

Слово "теория" имеет общенаучный смысл, и при этом чрезвычайно расплывчатый. Мы можем сказать, что "учёные занимаются построением научных теорий", но получится совершенно бессодержательное высказывание, в силу этой расплывчатости.

Теории, про которые я говорю - совсем другое понятие (на форуме алгебры и логики это простительно ). Это так называемые элементарные теории структур. Иногда их ещё называют теориями первого порядка. Элементарная теория структуры - это совокупность всех утверждений, сформулированных на некотором специальном формальном языке, которые в ней верны. Это строгое математическое понятие.

Свойства полноты и разрешимости данной теории тоже имеют свои строгие математические определения. В силу этого исходный тезис по крайней мере не является формально бессодержательным (отсюда не следует, что он является верным или хотя бы осмысленным).

Pavel E. Alaev

У меня был вопрос не о теории, а о "естественных вопросах", - какую роль они играют в Вашем тезисе.

Тогда теория будет по определению полной.
Все равно не понимаю, в чем заключается Ваш тезис.

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!

Да, элементарная теория структуры всегда по определению полная. Проблема в том, что мы не знаем эту теорию. То есть мы не знаем, какие утверждения входят в неё, а какие нет. Наша задача - указать алгоритм, который отвечает на этот вопрос, тогда теория станет разрешимой.


Утверждается, что мы можем отождествить естественные вопросы просто с предложениями из нашей теории. Когда мы сможем ответить на каждый вопрос, мы построим полную теорию.

Pavel E. Alaev

Получается, что арифметика Пеано не является элементарной теорией. Где можно почитать о таком определении? Желательно с указанием страницы автора. Спасибо.

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!

Имея определённую математическую подготовку, можно далеко не ходить.

Арифметика Пеано не является теорией структуры, т.е. нет модели,
теория которой совпадала бы с РА. При этом, теорией арифметика,
конечно, является.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить

Alexandr
Кажется, это Вы мне ответили вместо уважаемого Pavel E. Alaev?

Это я понял (см. мой пост выше). Я попросил указать литературу, где вводится такое понятие теории (см. мой пост выше).

_________________
Понятно, почему не стреляло... Не заряжено было!

На 152 странице книжки «Математическая логика», Ю.Л.Ершов,
Е.А.Палютин, имеется определение элементарной теории
системы, а на 169 странице --- элементарной теории.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить

Второй пример, тоже в защиту. В конце XIX века математики всерьёз заинтересовались теорией множеств, и начали её исследовать и разрабатывать. В итоге они естественным путём пришли к структуре класса всех множеств, элементами которой являются множества, и к изучению её элементарной теории.

Поясним, что структуры обычно определяются как имеющие носителем какое-то множество, поэтому про структуру всех множеств говорить не очень корректно, так как совокупность всех множеств само множеством не является. Но с точки зрения элементарных теорий разница между обычными структурами и такими "гиперструктурами" не очень существенна, поэтому пренебрежём ею.

Если бы им удалось построить эту теорию, задав в явном виде список аксиом, это было бы замечательным достижением математики. Кажется, эта идея называлась программой Гильберта. К сожалению, попытка была неудачной - математики выстроили некоторую теорию, грубо говоря, ZFC, заодно открыв язык формальной логики первого порядка, но она не оказалась ни полной, ни разрешимой. Более того, оказалось, что расширить её до какой-нибудь разрешимой теории в принципе невозможно.

Но это просто означает, что полное познание математики (в том смысле, который обсуждается в этой ветке) оказалось невозможным. Не решив задачу в наиболее общей постановке, математики начали изучать её частные фрагменты, и для них находить разрешимые теории иногда удаётся.

Высказывание в защиту. Принятие подобного тезиса позволит вполне
точно отличать математиков от прочих матиков. Наша наука опять
оказывается впереди остальных. Другие пока только мечтают научиться
отличать занятие наукой от пчеловодства. А в математике всё просто:
не занят созданием полной разрешимой теории --- собирай фантики.

Конечно, тут потребуется куча оговорок, например, становится
непонятным статус прикладной математики, программистам придётся
расстаться с мечтой быть математиками (убедительно прошу не
превращать последний сарказм в повод утопить интересную ветку во
флуде). Но все эти оговорки ничто по сравнению с философским
значением возможности формального определения занятия наукой
(одной пока только, конечно).

Философское значение, разумеется, не единственное. Ещё можно
отметить возможность разделить сотрудников ИМ (организация взята
просто для примера, возмущённым следует читать «Обладминистрации»)
на занимающихся математикой и любителей потусоваться на Коптюга, 4
(Красном, 18), к первым не относящихся.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить