НГУ
http://forum.nsu.ru/

Эндоморфизм в идемпотентной бинарной алгебре
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=17081
Страница 1 из 1

Автор:  dwatt [ Пт май 18, 2007 8:06 pm ]
Заголовок сообщения:  Эндоморфизм в идемпотентной бинарной алгебре

Возник такой вопрос:

Рассмотрим алгебру с одной бинарной операцией, удовлетворяющей тождествам:
- для любого x x*x=x
- для любых x,y,z,t (x*y)*(z*t)=(x*z)*(y*t).

Вопрос: существуют ли на ней эндоморфизмы, отличные от тождественного?

Автор:  Коба [ Сб май 19, 2007 11:30 am ]
Заголовок сообщения: 

Ну вот возьмём в качестве алгебры множество всех подмножеств некоторого множества X. Операцию будем интерпретировать как пересечение множеств.

Обе аксиомы выполнены. Отображение, переводящее все элементы алгебры в некоторое фиксированное подмножество X, сохраняет операции, однако не является тождественным.

Автор:  dwatt [ Сб май 19, 2007 2:09 pm ]
Заголовок сообщения: 

Да, действительно. Спасибо.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Пн май 21, 2007 2:08 pm ]
Заголовок сообщения: 

dwatt писал(а):
Возник такой вопрос: ...

На всякий случай спрошу: а у Вас точно вопрос именно так звучал? Больно уж вторая аксиома странная, если * хотя бы ассоциативна и коммутативна, то это заведомо верно, а таких алгебр чрезвычайно много. Может быть, имелась в виду сдандартная алгебра над полем, то есть с +, с умножением на элементы поля и ещё с этой *?

Автор:  Коба [ Пн май 21, 2007 7:04 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Может быть, имелась в виду сдандартная алгебра над полем, то есть с +, с умножением на элементы поля и ещё с этой *?


А разница?

Берём булево кольцо, его можно рассматривать как алгебру над полем F_2. Есть нулевой эндоморфизм, который почти всегда отличен от тождественного...

Автор:  bolbot [ Вт май 22, 2007 3:36 pm ]
Заголовок сообщения: 

dwatt писал(а):
Вопрос: существуют ли на ней эндоморфизмы, отличные от тождественного?

Существуют - берём произвольный элемент а и задаём отображение А : х -> а. Из идемпотентности очевидно, что это эндоморфизм.

Pavel E. Alaev писал(а):
На всякий случай спрошу: а у Вас точно вопрос именно так звучал? Больно уж вторая аксиома странная, ...

Она не странная - это тождество называется энтропическим (а также медиальным) и позволяет из уже имеющихся эндоморфизмов строить новые. То есть в любом группоиде, удовлетворяющем этому тождеству все эндоморфизмы суммируемы. Суммируемость двух эндоморфизмов A и В означает, что отображение
х-> A(x)B(x)
тоже является эндоморфизмом.
Для многообразий верно и обратное: если все группоиды многообразия обладают условием суммируемости эндоморфизмов, то в этом многообразии справедливо тождество энтропии. Для индивидуальных группоидов это не так: существуют группоиды с суммируемыми эндоморфизмами, но не удовлетворяющие тождеству энтропии. Первый такой пример появился в 60-х в той же работе (не помню кого - надо заглянуть в свою работу, в которой я строил аналогичный пример), в которой вводилось понятие суммируемости.
P.S. Исторически первым примером свойства, характеризуемом в многообразии тождеством было свойство перестановочности конгруенций и принадлежит А.И.Мальцеву. Сейчас все подобные условия называют условиями типа Мальцева.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/