НГУ
http://forum.nsu.ru/

Мощность множества функций из С[0,1]
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=17530
Страница 1 из 1

Автор:  Балабол [ Пн сен 10, 2007 7:57 am ]
Заголовок сообщения:  Мощность множества функций из С[0,1]

Здравствуйте люди,
не подскажите как доказать что мощность всех функций из C[0; 1] есть континуум?

Автор:  slb [ Пн сен 10, 2007 10:37 am ]
Заголовок сообщения: 

Классическая задачка из классического задачника И.А.Лавров, Л.Л.Максимова "Сборник задач по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов". В разделе "Ответы" там и решение приведено :)

Автор:  Коба [ Пн сен 10, 2007 3:14 pm ]
Заголовок сообщения: 

Кстати, ответы в Лаврове-Максимовой встречаются косячные. Например, к другой задаче под тем же номером, в которой требуется найти мощность множества монотонных функций из R в R, в ответах даётся идея доказательства, которая содержит большую дыру. Потом приходится объяснять студентам, что в задачнике написано далеко не всё. Лучше бы вообще никаких указаний не было.

А насчёт C[0,1] --- тут всё просто. Ответ континуум следует из следующих двух наблюдений:

1) Непрерывная функция задаётся своими значениями в рациональных точках.
2) Множество всех отображений из счётного множества в континуальное имеет мощность континуум.

Автор:  AGu [ Вт сен 11, 2007 5:36 pm ]
Заголовок сообщения: 

Могу предложить еще один (в некотором смысле более общий) подход, основанный на следующих двух наблюдениях.
(Всюду ниже "НБЧКМ" = "не более чем континуальное множество".)

1. Всякое метрическое пространство, содержащее всюду плотное НБЧКМ, является НБЧКМ, так как каждый его элемент представим в виде предела последовательности элементов фиксированного НБЧКМ, а таких последовательностей -- НБЧКМ.

2. В качестве всюду плотного НБЧКМ в C[0,1] можно взять, например, множество многочленов (теорема Вейерштрасса) или множество непрерывных кусочно аффинных функций.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/