НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт май 23, 2019 6:32 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Пт апр 10, 2009 10:31 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт апр 10, 2009 10:28 am
Сообщения: 4
Как доказать, что если А, В вещественные, положительно определенные матрицы, то у матрицы АВ все собственные числа действительные? Тот кто приведет решение тому полтинник на телефон. На форуме Мгу не могут решить уже неделю.


Последний раз редактировалось kv.dron Вт апр 14, 2009 9:48 am, всего редактировалось 5 раз(а).

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт апр 10, 2009 11:29 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Чт окт 31, 2002 1:18 pm
Сообщения: 5207
Откуда: Евгений
При таком заголовке следует давать ссылку на предыдущее обсуждение.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Я дал ссылку
СообщениеДобавлено: Пн апр 13, 2009 4:48 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт апр 10, 2009 10:28 am
Сообщения: 4
Я дал ссылку. Там интересная беседа состоялась.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн апр 13, 2009 7:06 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
A=((1, 1), (0, 1))
B=((1, 0), (-1, 1))
AB=((0, 1), (-1, 1))


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Господин, Гост_Я, вы не правы
СообщениеДобавлено: Пн апр 13, 2009 8:11 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт апр 10, 2009 10:28 am
Сообщения: 4
Господин,Гост_Я, у вас А и В не симметричны. По определению положительно определенными матрицами считаются симметричные с положительным скаляром т.е (х,Ах)>0 для всех х<>0


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 9:06 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 9:44 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Гост_Я писал(а):
Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.


Требование симметричности ЯВЛЯЕТСЯ обязательным. Посмотрите, например, в задачнике Кострикина в конце, в списке определений.

Никаких интересных дискуссий, а тем более решений по приведённой ссылке до сих пор нет. Решение задачи можно получить доказав, например, следующее утверждение:

Если A - положительно определённая матрица, и каждая строка (или каждый столбец) матрицы A умножен на ненулевой положительный скаляр, то все собственные значения полученной матрицы являются вещественными положительными числами.

Сведение исходной задачи к этому утверждению очевидно. Думается мне, что приведённое утверждение можно доказать элементарными рассуждениями.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 9:52 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
veprus писал(а):
Гост_Я писал(а):
Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.


Требование симметричности ЯВЛЯЕТСЯ обязательным. Посмотрите, например, в задачнике Кострикина в конце, в списке определений.

ПРИМЕРОМ невозможно доказать обязательность требования. ПРИМЕРОМ можно только продемонстрировать, что В
НЕКОТОРЫХ некоторых случаях требуют. Поищите и найдете примеры, когда не требуется.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 10:34 am 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Чт мар 08, 2007 7:29 pm
Сообщения: 246
Откуда: Тюшин Илья
Определение
Хотя действительно это странно, что положительно-определёнными матрицами называют только симметричные матрицы. :-?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 11:41 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Cagnaccio писал(а):
Определение
Хотя действительно это странно, что положительно-определёнными матрицами называют только симметричные матрицы. :-?

Не только симметричные. Вот ещё определение http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 11:43 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Гост_Я писал(а):
ПРИМЕРОМ невозможно доказать обязательность требования. ПРИМЕРОМ можно только продемонстрировать, что В
НЕКОТОРЫХ некоторых случаях требуют. Поищите и найдете примеры, когда не требуется.


Я Вам привёл ССЫЛКУ на определение в достаточно авторитетном источнике, потому что не хочу и не буду обсуждать здесь, насколько данное определение корректно. Если Вы не согласны с этим определением - приведите ссылку на свой источник, который Вы считаете авторитетным. Поскольку задача взята с форума МГУ, а МГУ обучается по учебнику и задачнику Кострикина, считаю, что я привёл исчерпывающие аргументы.

Ваш пример определения некорректен, приведите пример в литературе.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 11:50 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Golub G.H. van Loan C.F. Matrix Computations 1996


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 12:44 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Тогда Ваш пример можно сделать ещё тривиальнее, в качестве B берём единичную матрицу размера 2x2, а в качестве A - любую ортогональную, в которой cos a>sin a (т.е. поворот плоскости на угол из промежутка от 0 до pi/4). Очевидно, что в задаче спрашивают про симметические положительно определённые матрицы.

Кстати, в размерности 2 для симметрических положительно определённых матриц утверждение доказать легко.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 3:10 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт апр 10, 2009 10:28 am
Сообщения: 4
да, уважаемый veprus для размерности 2, конечно, легко доказать, но надо для n


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 14, 2009 4:17 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Итак, решение.

Поскольку матрица B является положительно определённой, её можно представить в виде С^2, где С - также положительно определённая матрица (в частности, матрица C невырожденная). Рассмотрим матрицу

C(AB)C^{-1}=CAC (C C^{-1})=CAC.

Матрица CAC является симметрической положительно определённой матрицей, поэтому она подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями. Следовательно, и матрица
AB = C^{-1} (CAC) С
также подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB