НГУ

Как доказать, что если А, В вещественные, положительно определенные матрицы, то у матрицы АВ все собственные числа действительные? Тот кто приведет решение тому полтинник на телефон. На форуме Мгу не могут решить уже неделю.

При таком заголовке следует давать ссылку на предыдущее обсуждение.

Я дал ссылку. Там интересная беседа состоялась.

A=((1, 1), (0, 1))
B=((1, 0), (-1, 1))
AB=((0, 1), (-1, 1))

Господин,Гост_Я, у вас А и В не симметричны. По определению положительно определенными матрицами считаются симметричные с положительным скаляром т.е (х,Ах)>0 для всех х<>0

Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.

Требование симметричности ЯВЛЯЕТСЯ обязательным. Посмотрите, например, в задачнике Кострикина в конце, в списке определений.

Никаких интересных дискуссий, а тем более решений по приведённой ссылке до сих пор нет. Решение задачи можно получить доказав, например, следующее утверждение:

Если A - положительно определённая матрица, и каждая строка (или каждый столбец) матрицы A умножен на ненулевой положительный скаляр, то все собственные значения полученной матрицы являются вещественными положительными числами.

Сведение исходной задачи к этому утверждению очевидно. Думается мне, что приведённое утверждение можно доказать элементарными рассуждениями.

ПРИМЕРОМ невозможно доказать обязательность требования. ПРИМЕРОМ можно только продемонстрировать, что В
НЕКОТОРЫХ некоторых случаях требуют. Поищите и найдете примеры, когда не требуется.

Определение
Хотя действительно это странно, что положительно-определёнными матрицами называют только симметричные матрицы.

Не только симметричные. Вот ещё определение http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Я Вам привёл ССЫЛКУ на определение в достаточно авторитетном источнике, потому что не хочу и не буду обсуждать здесь, насколько данное определение корректно. Если Вы не согласны с этим определением - приведите ссылку на свой источник, который Вы считаете авторитетным. Поскольку задача взята с форума МГУ, а МГУ обучается по учебнику и задачнику Кострикина, считаю, что я привёл исчерпывающие аргументы.

Ваш пример определения некорректен, приведите пример в литературе.

Golub G.H. van Loan C.F. Matrix Computations 1996

Тогда Ваш пример можно сделать ещё тривиальнее, в качестве B берём единичную матрицу размера 2x2, а в качестве A - любую ортогональную, в которой cos a>sin a (т.е. поворот плоскости на угол из промежутка от 0 до pi/4). Очевидно, что в задаче спрашивают про симметические положительно определённые матрицы.

Кстати, в размерности 2 для симметрических положительно определённых матриц утверждение доказать легко.

да, уважаемый veprus для размерности 2, конечно, легко доказать, но надо для n

Итак, решение.

Поскольку матрица B является положительно определённой, её можно представить в виде С^2, где С - также положительно определённая матрица (в частности, матрица C невырожденная). Рассмотрим матрицу

C(AB)C^{-1}=CAC (C C^{-1})=CAC.

Матрица CAC является симметрической положительно определённой матрицей, поэтому она подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями. Следовательно, и матрица
AB = C^{-1} (CAC) С
также подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями.