НГУ
http://forum.nsu.ru/

Доказуемость в ZFC меро-категорных утверждений
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=18428
Страница 1 из 1

Автор:  AGu [ Ср мар 05, 2008 5:26 pm ]
Заголовок сообщения:  Доказуемость в ZFC меро-категорных утверждений

Pavel E. Alaev писал(а):
доказуемо ли в ZFC, что
"любое подмножество R меньшей мощности измеримо по Лебегу".

Не будет ли в спецкурсе\foonote{который собирается читать AGu --- прим. Alexander} дан ответ?

Ответ на первый вопрос -- "нет", а вот второй вопрос пока открыт.
Подходящая модель известна (алеф-2 форсинг Коэна),
но с сочинением доступного доказательства могут возникнуть напряги.
Так что не гарантирую.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Пт мар 07, 2008 6:16 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
Ответ на первый вопрос -- "нет", а вот второй вопрос пока открыт.
Подходящая модель известна (алеф-2 форсинг Коэна).

Спасибо, вроде и тогда было очевидно, что нет, но решения я не знал. Гипотеза эквивалентна тому, что любое подмножество R меньшей мощности имеет меру Лебега 0, и вроде кажется почти очевидным, что если множество промежуточной мощности существует, то его можно "растянуть" так, чтобы мера стала не 0.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт мар 11, 2008 6:40 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
Ответ на первый вопрос -- "нет".

Раз так хорошо дело пошло, может быть и со вторым естественным вопросом можно легко разобраться: не будет ли тогда наше утверждение
"любое подмножество R меньшей мощности измеримо по Лебегу"
эквивалентно в ZFC континуум-гипотезе? Это придало бы моим словам о "растягивании" точный математический смысл. :)

Автор:  AGu [ Ср мар 12, 2008 3:07 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
не будет ли тогда наше утверждение
"любое подмножество R меньшей мощности измеримо по Лебегу"
эквивалентно в ZFC континуум-гипотезе?
Нет, не будет. На помощь приходит тот же алеф-2 форсинг Коэна. В рамках ZFC+CH в Коэновской модели ZFC числовые множества промежуточной мощности существуют, но они все измеримы.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Ср мар 12, 2008 6:04 pm ]
Заголовок сообщения: 

AGu писал(а):
Нет, не будет. На помощь приходит тот же алеф-2 форсинг Коэна.

А, что-то я маленько запутался. Ответить на оба вопроса с помощью одной модели нельзя, может быть, это классы моделей? А где про это можно почитать, не подскажете?

Автор:  AGu [ Чт мар 13, 2008 4:52 pm ]
Заголовок сообщения: 

Pavel E. Alaev писал(а):
Ответить на оба вопроса с помощью одной модели нельзя, может быть, это классы моделей?
Ага, классы. Форсинговать можно "над разными моделями ZFC", т.е. для доказательства тех или иных свойств булевозначных моделей можно использовать разные дополнительные аксиомы, совместность которых с ZFC заранее известна (например, CH, ~CH, MA и т.п.).
Цитата:
А где про это можно почитать, не подскажете?
Хорошей отправной точкой может послужить статья

    Bartoszynski T., Judah H., Shelah S. The Cichon diagram // J. Symb. Logic, 1993. V. 58. N2. P. 401-423.
Там есть ссылки на другие статьи, но самое главное, что там есть, -- это справочные таблицы, содержащие разнообразные комбинации меро-категорных утверждений с описаниями реализующих их моделей.

Этот выпуск сейчас лежит у меня на столе (взял в библиотеке ИМ). Откровенно говоря, до того, как я его открыл, вся эта экзотика оставалась для меня тайной.

Автор:  AGu [ Вс мар 16, 2008 8:32 pm ]
Заголовок сообщения: 

На всякий случай сообщаю о голосовании по поводу времени и места проведения спецкурса.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Пн мар 17, 2008 6:13 pm ]
Заголовок сообщения: 

Весьма признателен!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/