НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт апр 25, 2019 8:51 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Фактор-пространство SO(3)\SO(2)
СообщениеДобавлено: Пт фев 27, 2009 4:52 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт фев 27, 2009 4:50 pm
Сообщения: 2
Вопрос такой: как доказать, что фактор-пространство SO(3)\SO(2) изоморфно двумерной сфере?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт фев 27, 2009 8:28 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Извиняюсь за необразованность, но... напомните, что такое SO(n).

P. S. Для обозначения фактора используют черту с наклоном в другую сторону: SO(3)/SO(2). А у Вас не фактор, а теоретико-множественная разность.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб фев 28, 2009 3:21 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт фев 27, 2009 4:50 pm
Сообщения: 2
/ или \ означает правое или левое фактор пространство,но тут это не важно
SO(n)-группа ортогональных матриц с определителем 1 размера n*n


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс мар 01, 2009 5:10 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Интеллигент писал(а):
SO(n)-группа ортогональных матриц с определителем 1 размера n*n


А... тогда ещё надо вложение SO(2) в SO(3) определять, чтобы говорить о факторе. И ещё: фактор --- множество смежных классов, а сфера --- это что-то геометрическое или топологическое, опять же уточнять надо, что под сферой понимается. И как между такими разными структурами изоморфизм может быть?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср мар 18, 2009 1:56 am 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Вт окт 17, 2006 11:34 pm
Сообщения: 389
Не, ну я фигею! SO(3) можно рассматривать как группу изометрий
2-мерной сферы, сохраняющих ориентацию.

Топология на SO(3) ясно какая: каждое ортогональное преобразование 3-хмерного пространства с определителем 1 задается своей осью и углом поворота вокруг этой оси (это три параметра, 3-хмерный объект).

Далее, SO(2) естественно считать вложенной в SO(3) как группу
изометрий экваториальной окружности нашей двумерной сферы
(это группа поворотов вокруг оси e_3=(0,0,1) - направлен "вверх").

Далее, SO(3) действует на 2-мерной сфере транзитивно (т.е. всего одна орбита - вся сфера), любой элемент SO(3) определяется однозначно c точностью до подкрутки на элемент SO(2) образом
северного полюса e_3=(0,0,1) (т.е. сначала крутим вокруг e_3 на элемент SO(3), затем e_3 ортогональным преобразованием переводим в нужную точку на сфере -- такое преобразование ортогонально и наоборот, каждое ортог. преобразование из SO(3) можно эдак представить ). Если два преобразования g_1 и g_2 переводят северный полюс в одну и ту же точку, то они отличаются на элемент
из SO(2). То есть, есть взаимно однозначное соответствие между
точками двумерной сферы и смежными классами SO(3) по SO(2)
(биекция между элементами орбиты северного полюса под действием SO(3) и смежными классами по стабилизатору этой точки, то есть
SO(2)). Эта биекция является топологическим изоморфизмом.

В копилку эрудита:
Сама SO(3) на самом деле топологически изоморфна 3-хмерному вещественному проективному пространству, это доказывается просто, если хотите, скажу как, хотя есть и в учебниках (фольклор).

То есть, все вышенаписанное конечно сразу, м.б., понять трудновато,
мне самому этот простой путь показали, а сам я по-другому пытался увидеть, хотя и близко.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [Bot] и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB