НГУ
http://forum.nsu.ru/

Приз ввиде 50 рублей на мобильник. МГУ не может решить.
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=19852
Страница 1 из 2

Автор:  kv.dron [ Пт апр 10, 2009 10:31 am ]
Заголовок сообщения:  Приз ввиде 50 рублей на мобильник. МГУ не может решить.

Как доказать, что если А, В вещественные, положительно определенные матрицы, то у матрицы АВ все собственные числа действительные? Тот кто приведет решение тому полтинник на телефон. На форуме Мгу не могут решить уже неделю.

Автор:  Evgueni [ Пт апр 10, 2009 11:29 am ]
Заголовок сообщения: 

При таком заголовке следует давать ссылку на предыдущее обсуждение.

Автор:  kv.dron [ Пн апр 13, 2009 4:48 pm ]
Заголовок сообщения:  Я дал ссылку

Я дал ссылку. Там интересная беседа состоялась.

Автор:  Гост_Я [ Пн апр 13, 2009 7:06 pm ]
Заголовок сообщения: 

A=((1, 1), (0, 1))
B=((1, 0), (-1, 1))
AB=((0, 1), (-1, 1))

Автор:  kv.dron [ Пн апр 13, 2009 8:11 pm ]
Заголовок сообщения:  Господин, Гост_Я, вы не правы

Господин,Гост_Я, у вас А и В не симметричны. По определению положительно определенными матрицами считаются симметричные с положительным скаляром т.е (х,Ах)>0 для всех х<>0

Автор:  Гост_Я [ Вт апр 14, 2009 9:06 am ]
Заголовок сообщения: 

Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.

Автор:  veprus [ Вт апр 14, 2009 9:44 am ]
Заголовок сообщения: 

Гост_Я писал(а):
Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.


Требование симметричности ЯВЛЯЕТСЯ обязательным. Посмотрите, например, в задачнике Кострикина в конце, в списке определений.

Никаких интересных дискуссий, а тем более решений по приведённой ссылке до сих пор нет. Решение задачи можно получить доказав, например, следующее утверждение:

Если A - положительно определённая матрица, и каждая строка (или каждый столбец) матрицы A умножен на ненулевой положительный скаляр, то все собственные значения полученной матрицы являются вещественными положительными числами.

Сведение исходной задачи к этому утверждению очевидно. Думается мне, что приведённое утверждение можно доказать элементарными рассуждениями.

Автор:  Гост_Я [ Вт апр 14, 2009 9:52 am ]
Заголовок сообщения: 

veprus писал(а):
Гост_Я писал(а):
Требование симметричности не является обязательным в определении положительно определенной матрицы.


Требование симметричности ЯВЛЯЕТСЯ обязательным. Посмотрите, например, в задачнике Кострикина в конце, в списке определений.

ПРИМЕРОМ невозможно доказать обязательность требования. ПРИМЕРОМ можно только продемонстрировать, что В
НЕКОТОРЫХ некоторых случаях требуют. Поищите и найдете примеры, когда не требуется.

Автор:  Cagnaccio [ Вт апр 14, 2009 10:34 am ]
Заголовок сообщения: 

Определение
Хотя действительно это странно, что положительно-определёнными матрицами называют только симметричные матрицы. :-?

Автор:  Гост_Я [ Вт апр 14, 2009 11:41 am ]
Заголовок сообщения: 

Cagnaccio писал(а):
Определение
Хотя действительно это странно, что положительно-определёнными матрицами называют только симметричные матрицы. :-?

Не только симметричные. Вот ещё определение http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

Автор:  veprus [ Вт апр 14, 2009 11:43 am ]
Заголовок сообщения: 

Гост_Я писал(а):
ПРИМЕРОМ невозможно доказать обязательность требования. ПРИМЕРОМ можно только продемонстрировать, что В
НЕКОТОРЫХ некоторых случаях требуют. Поищите и найдете примеры, когда не требуется.


Я Вам привёл ССЫЛКУ на определение в достаточно авторитетном источнике, потому что не хочу и не буду обсуждать здесь, насколько данное определение корректно. Если Вы не согласны с этим определением - приведите ссылку на свой источник, который Вы считаете авторитетным. Поскольку задача взята с форума МГУ, а МГУ обучается по учебнику и задачнику Кострикина, считаю, что я привёл исчерпывающие аргументы.

Ваш пример определения некорректен, приведите пример в литературе.

Автор:  Гост_Я [ Вт апр 14, 2009 11:50 am ]
Заголовок сообщения: 

Golub G.H. van Loan C.F. Matrix Computations 1996

Автор:  veprus [ Вт апр 14, 2009 12:44 pm ]
Заголовок сообщения: 

Тогда Ваш пример можно сделать ещё тривиальнее, в качестве B берём единичную матрицу размера 2x2, а в качестве A - любую ортогональную, в которой cos a>sin a (т.е. поворот плоскости на угол из промежутка от 0 до pi/4). Очевидно, что в задаче спрашивают про симметические положительно определённые матрицы.

Кстати, в размерности 2 для симметрических положительно определённых матриц утверждение доказать легко.

Автор:  kv.dron [ Вт апр 14, 2009 3:10 pm ]
Заголовок сообщения:  да, размерности 2, конечно, легко доказать, но надо для n

да, уважаемый veprus для размерности 2, конечно, легко доказать, но надо для n

Автор:  veprus [ Вт апр 14, 2009 4:17 pm ]
Заголовок сообщения: 

Итак, решение.

Поскольку матрица B является положительно определённой, её можно представить в виде С^2, где С - также положительно определённая матрица (в частности, матрица C невырожденная). Рассмотрим матрицу

C(AB)C^{-1}=CAC (C C^{-1})=CAC.

Матрица CAC является симметрической положительно определённой матрицей, поэтому она подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями. Следовательно, и матрица
AB = C^{-1} (CAC) С
также подобна диагональной матрице с положительными собственными значениями.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/