НГУ

имеем арифметическую прогрессию A(n)=2*A(n-1)-A(n-2) +6*(n-1)
т.е. ее членами являются соответственно 1,8,27,64,125 и т.д.
Вопрос: как доказать, что никакие два произвольно взятые члены данной прогрессии не могут в сумме дать третий любой член этой же прогрессии?

попробую пояснить, зачем это мне надо
как очевидно, данная прогрессия включает в себя члены более простой прогрессии n^3, собственно они тождественны.
аналогичной прогрессией можно, более того, несложно, описать ЛЮБУЮ последовательность вида n^k, так, для
k=2 это будет A(n)=A(n-1) +k!*(n-(k-1)/2) или A(n-1) +2n-1, если подставить k
для k=3 имеем A(n)=2*A(n-1)-A(n-2)+k!*(n-(k-1)/2) или выражение, приведенное в самом верху, если опять же подставить k
для k=4 A(n)=3*A(n-1)-3*A(n-2)+A(n-3)+k!*(n-(k-1)/2)
для k=5 A(n)=4*A(n-1)-6*A(n-2)+4*A(n-3)-A(n-4)+k!*(n-(k-1)/2)
для k=6 A(n)=5*A(n-1)-10*A(n-2)+10*A(n-3)-5*A(n-4)+A(n-5)+k!*(n-(k-1)/2)
и так далее. закономерности очевидны - хвост всегда один, хотя в числовом эквиваленте разный, но это, понятно, зависит от k. кол-во "предыдущих" считаемых членов всегда на 1 меньше k, коэффициенты при них получаем сплошным сложением ранних прогрессий либо тупо берем из "треугольника Паскаля", знаки тупо чередуем.
вот теперь главный вопрос: только для k=2 для вычисления следующего члена прогрессии достаточно меть только один предыдущий и только для того-же k=2 из двух членов прогрессии можно получить третий, другими словами только два квадрата целых чисел могут дать в сумме также квадрат целого числа, для высших степеней это невозможно-имеем старую добрую теорему дяденьки Ферма.
я ничего против дяденьки уайлса не имею - респект ему и уважуха, как говорят - но формально он доказал теорему таниямы-шимуры о соответствии модулярных форм и эллиптических кривых, и уж как следствие, провозгласил, что и теорема Ферма тоже справедлива, как будто ктото сомневался.
и вот теперь очень хочется доказать не самую сложную теоремку(приведена сверху) и, я так думаю, по индукции можно будет доказать ее справедливость для всех прогрессий, при вычислении последующего члена которой необходимо иметь более одного предыдущего члена, т.е. доказать теорему ферма методами теории чисел, и не лезть ОЧЕНЬ УЖ глыбоко.

проблема в том, что я не очень математик, а с алгеброй многочленов и совсем туго, так что помогите чем кто может, буду ОООООООООчень признателен

Ее членами они являются почему?

потому что ряд n^3 мне нужно представить в виде арифметической последовательности и 1,8,27,64,125 являются членами приведенной последовальности (очень извиняюсь за 81 - это у меня 4^3 вместо 64 получилось). в остальном , принимая A(0)=0, A(1)=1, A(2)=8, A(3)=27 и т.д., т.е. принимая членами последовательности кубы последовательных целых чисел, к этим членам применимо правило A(n)=2*A(n-1)-A(n-2)+6*(n-1).
я так понимаю, это и будет арифметическая последовательность, ибо к предыдущим членам для получения следующего прибавляется величина.
не подумайте, я не пытаюсь никого научить, просто сам могу ошибаться.
если это называется не так - поправьте меня, скажу спасибо.
просто я не нашел НИГДЕ подобного представления квадратов, кубов и более высоких степеней последовательности натуральных чисел в виде такого разложения, а между тем, калькулятор ясно показал, что сие разложение работает, вот и решил просить помощи у умных людей, куда мне дальше

Какого представления? В чем его особенность?

я не отношу себя к ферматистам, просто копаясь в теоретической физике, столкнулся с чисто математической проблемой - пришлось "лезть в материал"
дело в том, что Пьер Ферма вместе с Блезом Паскалем стояли у истоков теории вероятности, без которой современная теор.физика вообще теряет смысл. и, ознакамливаясь с некоторыми выкладками и мат.приемами Ферма, сами понимаете, мимо его теорем не прошел. разложение ряда степеней а арифметическую прогрессию мне понадобилось совсем для другого, просто "на глаз упали" коэффициенты, мною полученные сплошным сложением предыдущих последовательностей, но сразу стало заметно, что они удар в удар совпадают с "треугольником Паскаля", который в обиход попал именно тогда, когда Ферма озвучил свою впоследствии великую теорему. (дяденьки активно сотрудничали).
согласитесь, грех было не подумать, что гдето здесь собака порылась.

О чем Вы, говорите конкретно?

обычно, чтобы получить например квадрат целого числа, мы его просто умножаем само на себя, при этом нас не волнует, каков количественно квадрат предыдущего или последующего числа.
мне же была нужна арифметическая связь между членами последовательности квадратов целых чисел, т.е.
1=0+1
4=1+3
9=4+5
16=9+7... и т.д.
собственно дяденька Евклид в свое время именно так доказал бесконечность количества "Пифагоровых троек". очевидно, что числа, которые мне нужно прибавить к предыдущему члену последовательности квадратов, дабы получить последующий, подчиняются вполне определенному правилу - каждый раз слагаемое увеличивается на 2, т.е. ряд 1,4,9,16,25,36,49 и т.д. можно описать последоватеностью членов прогрессии A(n)=A(n-1) +2n-1, т.е. если мы хотим узнать, сколько будет 7^2, нормальные люди умножают 7 на 7, а мне нужно к предыдущему члену последовательности (36) прибавить (2*7-1) и получить те же 49. логика ясна?
далее мне понадобилось Евклидов метод применить и к кубам целых чисел, сразу не вышло, ибо
1=0+1
8=1+7
27=8+19
64=27+37
125=64+61
однако тот же алгоритм еще раз и...
7=1+6
19=7+12
37=19+18
61=37+24
т.е. опять на лицо закономерность слагаемых, несложный подход выявил прогрессию A(n)=2*A(n-1)-A(n-2)+6(n-1)

сорри чуть позже закончу

Таких соотношений можно сколько угодно написать.
Например, для последовательных кубов верно A(n)-4A(n+1)+6A(n+2)-4A(n+3)+A(n+4)=0
Что с этим делать хотите?

ну вот собственно за этим
т.к. последовательность квадратов единственная, для исчисления следующего члена достаточно знать любой предыдущий и номер члена в последовательности.
для более высоких степеней знать один член недостаточно

плюс чисто технический момент - в приведенном вами выражении присутствуют ТОЛЬКО члены последовательности с коэффициентами но если к выражению
A(n)=4*A(n-1)-6*A(n-2)+4*A(n-3)-A(n-4) (оно тождественно вашему) добавить хвост +k!*(n-(k-1)/2) , оно станет справедливым не для кубов, а для пятых степеней.
усложнить можно любое равенство, а вот упростить...
для кубов я меньше двух предыдущих членов использовать не смог.
но спасибо за дискуссию и идею - очень помогли я об этом и просил собственно

Это не арифметическая прогрессия

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

спасибо, мне уже указали, что это называется "линейное (неоднородное) разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами".
однако мне важно не название, а смысловой подход к математическому решению проблемы.
для x^n +y^n=z^n очевидно, что x<y<z>2 прямое разложение биномов дается легко, но не имеет смысла, а вот выразить A(x+k) через A(x) с помощью аналогичного разложения уже гораздо сложнее, зато дает возможность двигаться дальше.
попробуйте на досуге хотя бы кубы разложить - ручаюсь - вам понравится