НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт янв 28, 2021 7:29 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Пт янв 28, 2011 6:40 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт янв 28, 2011 6:06 am
Сообщения: 6
Речь идет о двух казалось бы простых операциях - однако ничего не могу найти в литературе...

Это унарная операция объединения \bigcup
и унарная операция пересечения \bigcap
Каждая из этих операций применяется к одному (!) множеству.
Так унарное объединение некоторого множества М это обычное объединение множеств, являющихся элементами М. Точно также определяется унарная операция пересечения для некоторого непустого множества М.

Вопрос: как сформулировать закон дистрибутивности одной из этих операций относительно другой? Понятно что закон дистрибутивности обычно формулируется для операций бинарных, но ведь в каком-то смысле и для этих операций имеет место какой-то закон который выражает то же самое...[/tex][/url][/list][/list][/code]


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб янв 29, 2011 2:01 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт янв 27, 2011 2:01 am
Сообщения: 5
А это к коммутированию унарных операций не сведется? Наподобие


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс янв 30, 2011 3:11 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт янв 28, 2011 6:06 am
Сообщения: 6
Может быть и есть возможность как-то свести к коммутированию унарных операций, но видимо, это делается как-то сложно. Приведенное равентство не тождество. Например, для А ={0,{{0}}}, где 0 - пустое множество, левая сторона равна 0, а правая равна {0}.

Но идея коммутирования унарных операции интересна - почему-то мне она в голову не пришла. Спасибо что попытались!
[/tex]


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс янв 30, 2011 4:52 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт янв 27, 2011 2:01 am
Сообщения: 5
Да, скорее всего коммутирования нет. А вообще, ведь "унарная операция" с бинарной, если не ошибаюсь, связана простым соотношением . Поэтому, если вопрос лишь в том, "как сформулировать закон дистрибутивности одной из этих операций относительно другой", почему бы напрямую не использовать это для записи свойства дистрибутивности, наподобие
?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс янв 30, 2011 9:24 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт янв 28, 2011 6:06 am
Сообщения: 6
Видимо, придется поступить так как Вы предложили и тем самым принять факт, что эти унарные операции недостаточны для формулировки законов дистрибутивности, то есть унарные операции не обладают той же выразительной силой что и соответсвующие им бинарные операции. Ведь когда мы пишем {A, B}, мы тем самым "незаметно" включаем в наше рассмотрение еще одну операцию - операцию образования пары.

Выразимость одной операции очерез другие - трудный вопрос, а еще труднее доказывать невозможность такой вызимости. Поэтому придется полагаться на интуицию. В данном случае Вы пошли тем же путем что и я, а это укрепляет уверенность в недостаточной выразительной силе друх унарных операций.

Зачем мне все это нужно? Хотелось бы найти небольшое количество операции (не отношений, а именно операций - только операций), на языке которых сформулировать теорию множеств посредством тождеств или квазитождеств. Если это будет возможно, то теория множеств превратится в некоторую универсальную алгебру.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн янв 31, 2011 12:20 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт янв 27, 2011 2:01 am
Сообщения: 5
Я не специалист в этой области, поэтому на меня сильно не ориентируйтесь.

Кстати, а что, вы предполагали в вашей системе как-то обойтись без акиомы образования пары? Ведь для формулировки полноценной теории множеств, насколько я понимаю, в любом случае придется вводить средства для конструирования новых множеств из уже имеющихся, а одним из простейших таких средств является образование пары.

Кстати, дистрибутивность же в аксиоматику теории множество не входит, а является теоремой (насколько я имею представление). Поэтому, если хочется создать свой вариант теории множеств, логично ориентироваться на то, чтобы с помощью ваших аксиом можно было воспроизвести все акиомы какой-нибудь существующей теории множеств, например, той же ZFC - этого будет достаточно для воспроизведения и всех следствий ZFC, в том числе и теоремы о дистрибутивности.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн янв 31, 2011 1:58 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт янв 28, 2011 6:06 am
Сообщения: 6
Вы мне помогли уже тем, что четко воспринимали "куда я клоню" и приводили детали в нужную сторону. Согласен и с Вашими замечаниями.

Что касается неупорядоченной пары, то я не уверен что это понятие объязательно должно быть примитивным (через которое выражаются другие). Во всяком случае, для меня интереснее понятие упорядоченной пары, и по этому поводу у меня имеется другой вопрос который, думаю, надо сформулировать как отдельную тему, чтобы вопрос не затерялся в среди рассуждений об унарных операциях.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Пт окт 28, 2011 5:26 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
ЯКИМ писал(а):
Речь идет о двух казалось бы простых операциях - однако ничего не могу найти в литературе...

Это унарная операция объединения \bigcup
и унарная операция пересечения \bigcap
Каждая из этих операций применяется к одному (!) множеству.
Так унарное объединение некоторого множества М это обычное объединение множеств, являющихся элементами М. Точно также определяется унарная операция пересечения для некоторого непустого множества М.

Вопрос: как сформулировать закон дистрибутивности одной из этих операций относительно другой? Понятно что закон дистрибутивности обычно формулируется для операций бинарных, но ведь в каком-то смысле и для этих операций имеет место какой-то закон который выражает то же самое...

Изначально объединение - унарная операция. Для понимания того, что она из себя представляет, полезно иметь в виду следующее равенство: .

Бинарное объединение вводится через унарное следующим образом: .

С пересечением похожая ситуация, но есть один ньюанс. Можно ввести унарное пересечение . Однако это будет уже частичная операция на множествах, поскольку значение оказывается неопределённым. Однако эта неопределённость не мешает рассматривать бинарное пересечение и выражать его через унарное похожим образом: .

Возникает естественный вопрос: насколько совместимы эти "определения" с аксиоматикой теории множеств и не приводят ли они к парадоксам. С пересечением всё просто. Как уже упоминалось выше, не определено, а если множество не пусто, то можно выбрать и тогда , равное существует по аксиоме выделения. С объединением этот трюк не проходит, ибо изначально нет множество, из которого можно выделять элементы объединения, поэтому в список аксиом теории множеств приходится добавлять специальную аксиому объединения: . Эта аксиома фактически утверждает, что для любого множества существует его объединение - множество .

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт окт 28, 2011 6:00 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Насчёт дистрибутивностей всё довольно просто: , где и есть множество всеx таких функций из в , для которых при любом . Если содержит пустое множество, то пусто и тоже пусто, а если , то по аксиоме выбора.

При переходе от унарных операций к бинарным написанное выше превращается в обычное тождество дистрибутивности. Пусть, например, . Тогда . С другой стороны, состоит из двух функций: функции , задаваемой равенствами , и функции , для которой , . Множество оказывается равным и для него . Получается, что в этом частном случае общее тождество дистрибутивности превращается в хорошо знакомое равенство .

В более удобном для восприятия виде общее тождество дистрибутивности можно переписать так: , где - множество всех функций из в , для которых при любом справедливо . В частности, если для всех общее и равно , то - множество всех функций из в .

P. S. Аналогичные равенства продолжают выполняться, если объединения заменить на суммы, пересечения на произведения и предполагать, что переменные обозначают числа. Например, .

Отсюда, в частности, можно получить формулу бинома Ньютона. Пусть двухэлементно и не зависит от , а числа и также одинаковы для всех . Пусть множество состоит из элементов. Тогда . С другой стороны, является множеством всех функций из в и если для каждого через обозначит количество , для которых , то получим . Далее, существует биекция между и множеством всех подмножеств , сопоставляющая каждой множество . Для фиксированного функциям с будут сопоставляться в точности -элементные подмножества. Значит, количество функций с совпадает с количеством -элементных подмножеств и равно . Учитывая сказанное и приводя в сумме подобные слагаемые, получаем .

Аналогичным образом из общего равенства выводятся формулы для , формула для произведения степенных рядов и т. п.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB