Насчёт дистрибутивностей всё довольно просто:
, где
 : a \in A \} : f \in F \})
и
есть множество всеx таких функций
из
в
, для которых
 \in a)
при любом
. Если
содержит пустое множество, то
пусто и
тоже пусто, а если
, то
по аксиоме выбора.
При переходе от унарных операций к бинарным написанное выше превращается в обычное тождество дистрибутивности. Пусть, например,
. Тогда
)
. С другой стороны,
состоит из двух функций: функции
, задаваемой равенствами
 = x)
,
 = y)
и функции
, для которой
 = x)
,
 = z)
. Множество
оказывается равным
, f_1(\{ y,z \}) \}, \{ f_2(\{ x \}), f_2(\{ y,z \}) \} \} = \{ \{ x,y \}, \{ x,z \} \})
и для него
 \cup (x \cap z))
. Получается, что в этом частном случае общее тождество дистрибутивности превращается в хорошо знакомое равенство
 = (x \cap y) \cup (x \cap z))
.
В более удобном для восприятия виде общее тождество дистрибутивности можно переписать так:
})
, где
- множество всех функций из
в
, для которых при любом
справедливо
 \in J_i)
. В частности, если
для всех
общее и равно
, то
- множество всех функций из
в
.
P. S. Аналогичные равенства продолжают выполняться, если объединения заменить на суммы, пересечения на произведения и предполагать, что переменные обозначают числа. Например,
})
.
Отсюда, в частности, можно получить формулу бинома Ньютона. Пусть
двухэлементно и не зависит от
, а числа
и
также одинаковы для всех
. Пусть множество
состоит из
элементов. Тогда
^n)
. С другой стороны,
является множеством всех функций из
в
и если для каждого
через
)
обозначит количество
, для которых
 = 0)
, то получим
} = \sum_{f \in F} x^{k(f)} y^{n - k(f)})
. Далее, существует биекция между
и множеством всех подмножеств
, сопоставляющая каждой
множество
 = 0 \})
. Для фиксированного
функциям с
 = k)
будут сопоставляться в точности
-элементные подмножества. Значит, количество функций
с
совпадает с количеством
-элементных подмножеств
и равно
. Учитывая сказанное и приводя в сумме
} y^{n - k(f)})
подобные слагаемые, получаем
^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k y^{n-k})
.
Аналогичным образом из общего равенства выводятся формулы для
^n)
, формула для произведения степенных рядов и т. п.
Вход
FAQ
Поиск
