НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт дек 13, 2018 6:24 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Пн янв 31, 2011 3:08 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Пт янв 28, 2011 6:06 am
Сообщения: 6
Вопрос который я сформулирую ниже кажется интересным именно с точки зрения алгебры, хотя формулировка - теоретико-множественная. Буду признателен, если кто-то поделится где можно прочитать о чем-то близком.

В теории множеств, характеристичекое свойство упорядоченных пар звучит так - для любых А, В, А', B', имеет место следующая импликация:

(A, B) = (А', B') => A = A', B=B'

Если считать что упорядоченная пара получается в результате применения некоторой операции *, то это соотношение можно переписать на алгебраический язык:

(A* B) = (А' * B') => A = A', B=B' (1)

Это какие-то алгебры, но какие? Первое впечатление такое, что это частный случай квазигрупп (группоиды с обратимой операцией), но потом становится понятно что это нечто совершенно другое. Более того, то что написанно выше не квазитождество, и мне не понятно можно ли это переписать как квазитождество.

Ощущение такое, что свободные объкты в некотором классе группоидов и только они, удовлетворяют квазитождествам (1). Но у меня нет достаточного опыта работы со свободными объектами чтобы быть в этом уверенным.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт окт 28, 2011 9:37 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Для начала проанализируем совокупность всех множеств с бинарной операцией взятия упорядоченной пары.

В каком смысле это группоид? Если рассматривать группоид как алгебраическую систему, то конечно же нет, ибо у алгебраической системы носитель должен быть множеством, а тут класс всех множеств, который множеством не является. Хотя если говорить о группоидах с носителями-классами, то да, конечно, группоид.

И при этом действительно свободный. В качестве множества (точнее класса) свободных порождающих можно взять класс всех множеств, не являющихся упорядоченными парами.

"Свободность" группоида, порождённого этим классом множеств, очевидна. Действительно, если взять два терма и с переменными из класса множеств, не являющихся упорядоченными парами, то импликация легко доказывается индукцией по суммарной длине этих термов.

Остаётся лишь убедится в том, что такой группоид будет содержать все возможные множества, то есть что любое множество можно получить применением конечного числа операций взятия упорядоченной пары к множествам, не являющимся упорядоченными парами. Пусть это не так. Рассмотрим множество , которое нельзя получить описанным выше образом. Тогда оно является упорядоченной парой, так как в противном случае оно совпадало бы с одним из порождающих элементов. Можно написать . Одно из двух множеств опять нельзя получить описанным выше способом, так как в противном случае можно было бы получить и . Выберем из этих двух множеств то, которое нельзя получить, и обозначим его . И опять имеет место равенство , причём одно из множеств нельзя получить. Выберем среди них такое и обозначим его . И так далее... Получаем последовательность множеств .

Теперь вспомним, что с формальной точки зрения . Следовательно, для каждого натурального существует множество , такое что .

Получаем бесконечную последовательность . Однако существование такой последовательности противоречит аксиоме регулярности!

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт окт 28, 2011 9:47 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Теперь далее.

С чего вообще зашёл разговор про квазигруппы? Тут ничем подобным и не пахнет! В квазигруппе операция обратима; в частности, для любых элементов должен найтись элемент для которого . Ну ка, возьмите множество , не являющееся упорядоченной парой, произвольное и найдите , для которого .

Так что никакая не квазигруппа, а группоид в чистом виде!

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт окт 28, 2011 10:34 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
И наконец последнее. Что за класс образуют группоиды, удовлетворяющие системе из двух квазитождеств и (как одно квазитождество исходное условие переписать нельзя, а как два квазитождества - пожалуйста).

Ну, это типа такое квазимногообразие, аксиоматизируемое двумя квазитождествами. В нём лежат всякие разные группоиды. В частности, описанный выше свободный "группоид" всех множеств. Или, если не хотите считать его настоящим группоидом из-за слишком большого носителя, рассмотрите, например, наследственно конечные множества. Всё то же самое, что и выше, только теперь носитель - счётное множество, а сам группоид счётный и "настоящий" :)

Как и всякое квазимногообразие, наш класс замкнут относительно подмоделей, декартовых произведений и ещё чего-то там... Короче, универсальная алгебра про этот класс много чего может сказать.

Лежат ли в этом квазимногообразии все свободные группоиды? Да, лежат. Сие есть очевидно.

Лежат ли в этом квазимногообразии только свободные группоиды? Конечно же нет. Достаточно рассмотреть одноэлементный группоид.

Ну или более сложный пример. Зафиксируем двухэлементный конечный алфавит . Для двух слов этого алфавита пишем , если слово является началом слова (то есть если найдётся слово , для которого равно конкатенации ). Назовём язык нашего алфавита деревом, если для любого и любого слова , такого что , выполняется .

Введём на языках операцию: (здесь обозначает пустое слово). Очевидно, введённая таким образом операция удовлетворяет требуемому квазитождеству и множество деревьев замкнуто относительно этой операции. Однако множество деревьев не является свободным группоидом, ибо в нём справедливо , а никакой свободный группоид не содержит идемпотента.

Более общо, в том, что касается ощущения... Можно ли задать класс группоидов, который содержит наш класс и для которого группоиды из нашего класса являются в точности всеми свободными объектами? Ну так опять же нет! Ибо в нашем классе содержатся как группоиды, содержащие идемпотенты, так и не содержащие таковых, а гомоморфный образ группоида, содержащего идемпотент, тоже обязан содержать идемпотент.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB