НГУ

Здравствуйте !

Верно ли утверждение в ZF, что мощность любой неупорядоченной пары
всегда больше мощности любого синглетона ?
Пара - это то множество, существование которого утверждается в аксиоме пары в ZF.

С уважением
А. Дорин

Всяка верно. Куда ж ему деваться-то?
Это все равно что спросить "верно ли, что 2 больше 1".

Итак, пусть P={a,b} и S={c}.
Тогда если a не равно b, то |P| > |S|.
С одной стороны, |S| меньше либо равно |P|,
так как {(c,a)} -- инъекция из S в P.
С другой стороны, |S| не равно |P|,
так как единственной функцией из P в S
является {(a,c),(b,c)}, а это не инъекция.

P.S. Если нужно тупое/честное/чистое/формальное доказательство в рамках ZF,
то можно все тупо/честно/чисто/формально расписать по определениям
и тупо/честно/чисто/формально все доказать, но это уже самоистязание.