НГУ
http://forum.nsu.ru/

Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?
http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?f=24&t=24448
Страница 1 из 1

Автор:  o. s. [ Пн июн 16, 2014 2:49 pm ]
Заголовок сообщения:  Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?

Пусть мы нашли множество мощностью между счетной и континуумом. Тогда континуум гипотеза неверна. Поскольку континуум-гипотеза неразрешима, мы не сможем найти такое множество (иначе разрешим ее). А раз мы не можем найти такое множество, значит для всех множеств она верна. Но и в этом случае мы ее разрешим. В любом случае приходим к противоречию с ее неразрешимостью.

В более общем виде: можно ли считать доказательством приведение примера? Если да, то утверждение о существовании чего-то может быть либо верным, либо нет, но не неразрешимым. Если нет, то это противоречит здравому смыслу, да и многие доказательства опираются именно на приведение примера.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Вт июн 17, 2014 3:02 am ]
Заголовок сообщения:  Re: Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?

o. s. писал(а):
А раз мы не можем найти такое множество, значит для всех множеств она верна.

Тут ошибка в рассуждении. "Не можем найти" означает, что мы не можем построить некое множество и доказать, что оно имеет промежуточную мощность. Но из того, что мы не можем что-то найти, не следует, что это что-то в принципе не существует.

Автор:  o. s. [ Чт июн 19, 2014 12:36 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?

Pavel E. Alaev писал(а):
o. s. писал(а):
А раз мы не можем найти такое множество, значит для всех множеств она верна.

Тут ошибка в рассуждении. "Не можем найти" означает, что мы не можем построить некое множество и доказать, что оно имеет промежуточную мощность. Но из того, что мы не можем что-то найти, не следует, что это что-то в принципе не существует.


Да, спасибо, но все-таки не совсем понятно, какое тогда определение понятие "существования" в логике. То есть каким образом мы считаем существующими объекты, которые теоретически не можем найти?
Я слышал, что "существование" объекта с определенными свойствами означает, что "множество таких объектов не пусто". Но это не снимает вопроса об определении существования, так как "множество A не пусто" ⇔ A != Ø ⇔ ¬(А=Ø) ⇔ ¬(∀x[x∈A ⇔ x∈Ø]) ⇔ ∃x[x∈A ∨ x∈Ø] ⇔ ∃x[x∈A], где ∃ - существование. То есть это просто переформулировка вопроса.

Автор:  Pavel E. Alaev [ Чт июн 19, 2014 10:44 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?

o. s. писал(а):
Я слышал, что "существование" объекта с определенными свойствами означает, что "множество таких объектов не пусто". ... это просто переформулировка вопроса.

Точно так, вы правы.

o. s. писал(а):
не совсем понятно, какое тогда определение понятие "существования" в логике. То есть каким образом мы считаем существующими объекты, которые теоретически не можем найти?

Мне немного не нравится формулировка про "существование в логике". Континуум-гипотеза является общематематической проблемой, логика тут формально ни при чём.

Более того, ей можно попробовать придать даже физический смысл. Пример (придумал не я): пусть в некоторой точке пространства установлен датчик с точными часами и регистратором неких частиц. Если за секунду номер t через регистратор пролетает хотя бы одна частица, считаем, что f(t)=1, иначе 0. Продолжая этот процесс бесконечно долго, мы получим некоторую функцию f : N -> {0,1}. Она, очевидно, будет иметь какой-то физический смысл. Можно делать предположения о том, какой она будет, но изначально она может быть любой.

Тем самым мы придали физический смысл бесконечной последовательности из 0 и 1. Её легко можно отождествить с вещественным числом, т.е. элементом R. Помещая датчик в разные точки пространства, мы будем получать разные функции f, и в итоге получим некоторое подмножество R.

Можем ли мы утверждать, что это подмножество обязательно счётно или континуально? Я не понимаю, откуда бы это могло следовать. Если же это не так, то мы получим в каком-то смысле реально существующее множество промежуточной мощности.

Автор:  alex_dorin [ Пн мар 09, 2015 2:41 pm ]
Заголовок сообщения:  Re: Может ли быть континуум-гипотеза независимой от ZFC?

Независимость континнум-гипотезы от ZFC без аксиомы фундирования доказал Н. Н. Лузин.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 7 часов
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/