Существуют канторовы IFS множества на плоскости, с Хаусдорфовой размерностью 1 и топологической 0. Например, "треугольник", порождённый тремя сжатиями к своим вершинам с коэффициентами сжатия 1/3. Или множество порождённое четырьмя сжатиями по 1/4 к вершинам квадрата:
<img src="http://fractals.nsu.ru/ext/k3.png">. <img src="http://fractals.nsu.ru/ext/k4.png">.
Известен также результат Шишикуры, что Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта равна двум (M.Shishikura, The boudary of the Mandelbrot set has Hausdorff dimension two, Asterisque 222 (1994), 389-405.), в то время как его топологическая размерность равна единице.
P.S. Необходимые определения фрактала и Хаусдорфовой/топологической размерностей: <a href="http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/math.htm">http://fractals.chat.ru/math.htm</a>.
|