НГУ

Я пишу диплом по этой теме. Скоро сдавать. А вот с размерностью лажа. Знаю, что размерность фрактала дробная и знаю, что она равна размерности Хаустдорфа-Бизековича, но недавно прочитал, что существуют фракталы у которых размерность выражается целым числом. Прошу привести пример, если такие есть.

А что понимается под фрактальным множеством? Насколько мне известно, раньше фракталами называли множества нецелой размерности, но позже были найдены "самоподобные" множества целой размерности.

Существуют канторовы IFS множества на плоскости, с Хаусдорфовой размерностью 1 и топологической 0. Например, "треугольник", порождённый тремя сжатиями к своим вершинам с коэффициентами сжатия 1/3. Или множество порождённое четырьмя сжатиями по 1/4 к вершинам квадрата:
<img src="http://fractals.nsu.ru/ext/k3.png">. <img src="http://fractals.nsu.ru/ext/k4.png">.

Известен также результат Шишикуры, что Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта равна двум (M.Shishikura, The boudary of the Mandelbrot set has Hausdorff dimension two, Asterisque 222 (1994), 389-405.), в то время как его топологическая размерность равна единице.

P.S. Необходимые определения фрактала и Хаусдорфовой/топологической размерностей: <a href="http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/math.htm">http://fractals.chat.ru/math.htm</a>.

Здравствуйте.

Вроде бы с теоретическим понятием размерности Хаусдорфа, благодаря этому форуму и книгам Кроновера и Морозова я разобрался. Но вот как практически, численно вычислять эту размерность для меня не ясно. Выше приводятся два примера построенных с использованием IFS, а вот кто ни будь, знает как, имея только графические изображения этих или каких то других множеств найти для них размерность Хаусдорфа?

Ps: Может быть есть что то подобное клеточному и точечному методу вычисления размерности Минковского.

_________________
С уважением, Том.

Вообще формулка такая:
lim_{\varepsilon\to\0}n(\varepsilon)/ln(1/\varepsilon), где
n(\varepsilon) минимальное число открытых множеств(к примеру шары) диаметра varepsilon покрывающих множество,исследуемое на хаустдорфову размерность.
К примеру у канторова множества хаустдорфова размерность равна
in(2)/in(3),а топологическая равна нулю.