НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср апр 24, 2019 9:00 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Понятие размерности множества
СообщениеДобавлено: Вт дек 14, 2004 8:30 pm 
Тема фракталов неразрывно связана с понятием размерности.
Однако, часто рассуждая о ней, люди упускают из виду несколько классических фактов.

Вот что касается Хаусдорфовой размерности.

1) Размерность можно определить не только для всего множества, но и для любой его точки.

Рассмотрим некоторую точку множества и небольшую ее окрестность - например пересечение множества и маленького шара с центром в этой точке. У этого пересечения имеется СВОЯ размерность, и она может отличаться от размерности всего множества (меньше или равна).
При стремлении диаметра шара к нулю размерности соответствующих окрестностей будут уменьшаться, и в пределе дадут некоторое число, которое и есть размерность данного множества в данной точке.
Таким образом, размерность - функция точки.

2) Размерность множества во многом теряет смысл, если она отлична от размерностей своих частей. Например, при объединении кривой Коха и отрезка получается множество с размерностью равной Кривой Коха, но это уже никак не характеризует некоторые части объединения (фрагменты отрезка).
Однако для многих множеств - например, для самоподобных, самоаффинных, множеств Жулиа, границы множества Мандельброта, размерность одинакова во всех точках.

3) Обобщения размерностей.

Что такое размерность Хаусдорфа?
Фундаментом для нее является понятие Хаусдорфовой alpha-меры. При маленьких alpha эта мера (alpha-мерный объем) для множества равна бесконечности. При больших - нулю. Хаусдорфовой размерностью как раз и называется то критическое alpha, при переходе через которое и происходит скачок меры с бесконечности к нулю.

Построение alpha-меры в свою очередь основано на показательной функции x^alpha.

Из этого следует, что размерность на самом деле характеризуется функцией из некоторого семейства (в данном случае из семейства показательных функций).
Если мы расширим это семейство, мы получим обобщение размерности.

а) Есть примеры, когда размерность множества точнее характеризуется функцией вида log(1/x)*(x^alpha) а не показательной. Возможно, даже некоторые самоподобные множества характеризуются похожей функцией.

б) Или другая ситуация - существуют множества хаусдорфовой размерности ноль, при этом содержащие несчетное множество точек. Эти множества существенно отличаются друг от друга по "плотности точек". Чем же характеризовать тогда это различие в "плотности"? Как раз обобщением - нужно характеризовать их не числами - а функциями.
То же самое касается и множество с бесконечной хаусдорфовой размерностью.

Поэтому стоит помнить, что размерность - это даже не число, а как минимум функция, причем своя для каждой точки множества.

Из этих фактов видно, что определение понятия "фрактал" через размерность хаусдорфа имеет свои ограничения.
Например, упомянутые множества с нулевой размерностью Хаусдорфа имеют и нулевую топологическую размерность - а значит не фракталы по определению Мандельброта
При этом они, конечно же, настолько фракталы, насколько фракталом является классическое канторов множество, полученное последовательным удалением средней трети из отрезков.

Еще один пример на тему размерностей - "фрактал второго порядка".
Интегрируем функцию, график которой имеет дробную размерность во всех точках.
Получаем гладкую кривую (рамерность=1), у которой нет кривизны. Подобные объекты, конечно же, тоже должны изучаться в рамках фрактальной теории.


Вернуться к началу
  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB