НГУ

Сколько существует непрерывных отображений f из C в C, для которых выполнены тождества f(x+y)=f(x)+f(y) и f(xy) = f(x)f(y)?

C --- поле комплексных чисел.

Задачка второкурсникам на разминку. Первокурсники тоже могут порешать

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

хм, помоему существует ровно два изоморфизма C на себя: тождественное и то, которое переводит a+bi в a-bi. тогда непонятно зачем тут непрерывность. или я вообще не понял условия.

Вы ошибаетесь. Существует ровно два в степени континуум автоморфизмов поля C.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

гм, чето я туплю.
f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) => f(0) = 0
f(1) = f(1 * 1) = f(1) * f(1) => f(1) = 1
0 = f(0) = f(x - x) = f(x) + f(-x) => f(-x) = -f(x), x любое
1 = f(1) = f(x / x) = f(x) * f(1 / x) => f(1 / x) = 1 / f(x), x любое
f(n) = f(1 + 1 + ..<n>.. + 1) = n * f(1) = n => f(n) = n, n натуральное
f(-n) = -f(n) = -n => f(z) = z, z целое
f(m/n) = f(m) / f(n) = m / n => f(q) = q, q рациональное
///тут я долго думал, как без использования непрерывности перейти от рациональных к действительным. походу и правда никак. так то все просто, действительные переходят сами в себя, а i переходит либо в i либо в -i.
а можно пример не непрерывного автоморфизма, не переводящего действительные числа в себя?

Базис трансцендентности C над Q имеет континуальную мощность. Любая перестановка базиса порождает автоморфизм. Отсюда два в степени континуум автоморфизмов.

Предъявить же хотя бы один из них в явном виде? Это вряд ли. Базис трансцендентности по лемме Цорна существует, так что утверждение про количество автомофизмов --- чистая теорема существования. Точно так же можно сказать, что есть два в степени континуум способов вполне упорядочить множество R, однако показать хотя бы один затруднительно.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

... линейного пространства C над Q.

Базис трансцендентности R над Q тоже имеет континуальную мощность. Однако существует лишь один автоморфизм поля R - тождественный.

_________________
Наука умеет много гитик.

R, в отличие от C, не является алгебраически замкнутым.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Помнится эту задачу мне предложил на экзамене М.И.Каргаполов.
Непрерывность автоморфизмов в ней не предполагалась - помню как тормозил некоторе время именно на доказательстве непрерывности. По-видимому, вместо неё было сохранение R автоморфизмами - этого достаточно.

Алгебраическая замкнутость свойство сильное, но как это помогает строить много автоморфизмов, что-то не доходит.

_________________
Наука умеет много гитик.

Так вроде бы для алгебраически замкнутых полей базис трансцендентности --- это "то же самое", что базис Гамеля для векторных пространств. В частности, тип изоморфизма поля однозначно определяется мощностью базиса (оно там получается изоморфным полю частных кольца многочленов с переменными-элементами базиса трансцендентности)... ну и всё такое.

Мне казалось, что это в книжке Ленга есть. Беда в том, что у меня дома компьютер сломался, а в ИМ, откуда я сейчас пишу, книги Ленга под рукой нет. Но по приезду домой я её гляну и, как только починю комп, обязательно напишу сюда. Скорее всего, это будет где-то в субботу.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Ну вот, открыл быстренько Ленга и первое, на что наткнулся по теме, это упражнение 1 к главе 10 на странице 305:



Когда-то (уже давно, много лет назад) я все упражнения из Ленга прорешивал, вот с тех пор воспоминание и сохранилось. Для того же, чтобы восстановить полностью решение (и получить точную оценку количества автоморфизмов два в степени континуум) мне сейчас, похоже, придётся перечитать всю вторую часть этой книги. По крайней мере всё, что касается теории Галуа (ну и всё из предыдущих параграфов, на что имеется ссылка в изложении теории Галуа). В данный момент я не ощущаю себя готовым на этот труд.

Но когда-нибудь в ближайшие несколько месяцев я это сделаю. Подобные вещи (как я считаю) действующему математику не стоит совершенно стирать из памяти. А насчёт своей правоты про два в степени континуум автоморфизмов я теперь более чем уверен.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Можно такую идею предложить, относительно конструктивную: возьмём два вещественных числа x и y, которые являются алгебраически независимыми. Это означает, что одно из них не может быть корнем нетривиального многочлена, коэффициенты которого лежат в подполе, порождённым вторым числом. В этом случае x и yi тоже будут независимыми. Тогда найдётся автоморфизм поля C, который переведёт x в yi.

Его можно легко представить себе как строящийся по своеобразной индукции. Она опирается на два факта:
(a) если в C есть два изоморфных подполя F1 и F2, то их алгебраические замыкания в C тоже будут изоморфны. Более того, если f : F1->F2 - изоморфизм, то его можно продолжить до изоморфизма алгебраических замыканий.
(b) если в C есть два изоморфных алгебраически замкнутых подполя С1 и С2 и f : C1->C2 - изоморфизм, то f всегда можно продолжить до изофорфизма некоторых подполей F1 и F2 так, чтобы f(a)=b, где a не лежит в С1, а b не лежит в C2.

То есть можно стартовать с изоморфизма подполей, порождённых x и yi, и каждый раз продолжать изоморфизм на один шаг. Поскольку C континуально, тут потребуется трансфинитная индукция.

Может быть логичнее применить лемму Цорна к множеству {пары полей с изоморфизмом}, упорядоченному по включению. Впрочем, это по сути то же самое.

Если применить в лоб, то может получиться, что одно поле равно C, а второе нет.

А мне кажется, тут никакой back-and-force не нужен. Всё проще.

1) Изоморфизм между полями продолжается до изоморфизма их алгебраических замыканий. Утверждение вроде как очевидно, поскольку алгебраическое замыкание поля получается при помощи некоей "явной" конструкции из самого поля.

2) Пусть X --- континуальное множество переменных, Q[X] --- кольцо многочленов с коэффициентами из Q и переменными из T, а Q(X) --- его поле частных. Пусть h --- произвольная биекция X на базис трансцендентности C над Q. Тогда h естественным образом продолжается до изоморфизма Q(X) на некоторое K --- подполе в C. Поскольку K содержит все элементы базиса трансцендентности, то алгебраическое замыкание K совпадает с C. Таким образом, h можно продолжить до изоморфизма алгебраического замыкания Q(X) на C.

3) Так как существует два в степени континуум биекций X на произвольный фиксированный базис трансцендентности C над Q, то существует два в степени континуум различных изоморфизмов алгебраического замыкания Q(X) на C. Отсюда имеем два в степени континуум автоморфизмов поля C.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Как мы уже выяснили при личной встрече, можно применить лемму к множеству {алг. замкнутое подполе в C с автоморфизмом}, поскольку стартовать можно с алг. замыкания {x, yi}, в котором они меняются местами.

Но лемма Цорна - довольно неконструктивный инструмент, в то время как индукция даёт чувство реального построения (довольно, впрочем, иллюзорное).