НГУ

Ответ на первый вопрос -- "нет", а вот второй вопрос пока открыт.
Подходящая модель известна (алеф-2 форсинг Коэна),
но с сочинением доступного доказательства могут возникнуть напряги.
Так что не гарантирую.

Спасибо, вроде и тогда было очевидно, что нет, но решения я не знал. Гипотеза эквивалентна тому, что любое подмножество R меньшей мощности имеет меру Лебега 0, и вроде кажется почти очевидным, что если множество промежуточной мощности существует, то его можно "растянуть" так, чтобы мера стала не 0.

Раз так хорошо дело пошло, может быть и со вторым естественным вопросом можно легко разобраться: не будет ли тогда наше утверждение
"любое подмножество R меньшей мощности измеримо по Лебегу"
эквивалентно в ZFC континуум-гипотезе? Это придало бы моим словам о "растягивании" точный математический смысл.

Нет, не будет. На помощь приходит тот же алеф-2 форсинг Коэна. В рамках ZFC+CH в Коэновской модели ZFC числовые множества промежуточной мощности существуют, но они все измеримы.

А, что-то я маленько запутался. Ответить на оба вопроса с помощью одной модели нельзя, может быть, это классы моделей? А где про это можно почитать, не подскажете?

Ага, классы. Форсинговать можно "над разными моделями ZFC", т.е. для доказательства тех или иных свойств булевозначных моделей можно использовать разные дополнительные аксиомы, совместность которых с ZFC заранее известна (например, CH, ~CH, MA и т.п.).
Хорошей отправной точкой может послужить статья

Bartoszynski T., Judah H., Shelah S. The Cichon diagram // J. Symb. Logic, 1993. V. 58. N2. P. 401-423.

Там есть ссылки на другие статьи, но самое главное, что там есть, -- это справочные таблицы, содержащие разнообразные комбинации меро-категорных утверждений с описаниями реализующих их моделей.

Этот выпуск сейчас лежит у меня на столе (взял в библиотеке ИМ). Откровенно говоря, до того, как я его открыл, вся эта экзотика оставалась для меня тайной.

На всякий случай сообщаю о голосовании по поводу времени и места проведения спецкурса.

Весьма признателен!