AGu писал(а):
Насколько я могу судить из сказанного выше, пункт 2 -- лишний: он уже содержится в пункте 1. Мы ведь имеем дело не просто со строкой значков, а с формулой ФТЧ.
Amigo писал(а):
3. Доказать, что ни для этой формулы ни для её отрицания не существует вывода в ФТЧ
Тут я бы поставил точку. Как именно это доказывать (через интерпретации или как-то еще) -- дело техники.
Давайте немножко углубимся в эти вопросы.
Я сейчас приведу пример некой формальной
системы (PR), затем сформулирую своё понимание,
некоторых аспектов, а Вы проверите, что не так? Ок?
Итак, система (PR).
Алфавит системы состоит из трёх символов:
1.А={
p,r,- }
Имеется следующая схема аксиом:
2. x
p-
rx- где вместо x можно подставлять различные строчки тире и только их.
3.Имеется одно правило вывода: Если x,y,z строчки состоящие только из тире а x
py
rz теорема нашей системы, то x
py-
rz-
также теорема нашей системы.
Всё, система описана.
Про эту систему я держу в голове следующее:
1.Знаки системы абсолютно бессодержательны, цепочки знаков тоже. (я специально это обговариваю, потому что именно с этим аспектом у меня наибольшее непонимание)
2. Теоремой нашей системы является всякая строчка, которая либо аксиома, либо получена из аксиомы с помощью конечного количества применения правила вывода описанного в пункте 3 системы (PR).
Теперь делаем следующее: строим изоморфизм между бессмысленными знаками системы (PR) и некоторыми другими знаками в которых уже есть смысл. Делаем так:
Всякой последовательности символов тире ставим в соответствие некоторое число натурального ряда т.е.
- =1
--=2
---=3
….
---…--=n (тут написано n –количество тире)
Далее, символу
p приписываем символ «+», и именно в таком смысле его понимаем, то есть в смысле сложения между числами.
Наконец символу
r – ставим в соответствие арифметический знак равенства т.е.
r= "="
Все, изоморфизм построен.
В итоге мы имеем:
Согласно схеме аксиом все строчки:
p-
r- при х={}
-
p-
r-- при х={-}
--
p-
r--- х={--}
…
--…-
p-
r(--..-)- х={--..-} (n знаков тире)
-существуют в нашей системе, т.е. являются «правильно сформированными».
Теперь, если мы будем их интерпретировать, то получим:
0+1=1
1+1=2
2+1=3
…
n+1=n+1
то есть мы получим следующее:
1.Все интерпретированные строчки системы (PR) –
стали СОДЕРЖАТЕЛЬНЫМИ.
2.Стали обладать возможностью быть истинными или ложными. То есть стали ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ о числах, и стало быть, к ним как к высказываниям - можно применять аппарат логики, а именно - аппарат алгебры высказываний. Но к самим строчкам системы (PR) – ни какого аппарата логики применять нельзя, а можно применять только правило указанное в пункте 3.
3. Все строчки системы (PR), в результате их интерпретации стали истинными арифметическими предложениями.
Совершенно очевидно, что используя правило вывода мы можем получить и все следующие высказывания арифметики:
3+3=6
7+5=12
n+2=n+2
то есть получается, что наша формальная система (PR) – полностью моделирует сложение натуральных чисел. Что означает, что всякое сложение любых двух натуральных чисел – может быть при помощи указанного изоморфизма переведено в нашу систему (PR), и там, используя лишь конечное количество шагов, пользуюсь лишь одним правилом вывода, но только примененного
в обратную сторону, мы можем редуцировать нашу
формулу к какой –нибудь аксиоме системы (PR).
Если же, процесс редукции мы запишем виде отдельных шагов, и расположим их в обратном порядке, то построенная нами цепочка, будет ничем иным, как тем, что называется доказательством
или деривацией полученной в системе (PR), строчки, перенесённой из области арифметики, при помощи указанного изоморфизма в нашу теорию (PR). Если же (вот тут самое главное) мы вдруг решим, что результат нашей деривации может быть перенесён в область арифметики, и там рассматриваться содержательно, то тогда мы получим доказательство какого- либо арифметического утверждения, например, что 2+2=4. Но повторяю, ( для меня это очень важно)
данная деривация будет доказательством того, что 2+2=4 только, и исключительно, в связи с имеющимся изоморфизмом МЕЖДУ системой (PR) и полугруппой по сложению натуральных чисел?
Теперь я хочу попросить Вас, попытаться объяснить мне, что такое непротиворечивость системы (PR) и полнота системы (PR).
Насколько мне известно, то понятия полнота и непротиворечивость принадлежат не самой теории, а некоторой метатеории. То есть:
а) Являются ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ о некоторой ФАТ. Именно по этому- могут быть истинными или ложными, и следовательно, к ним как к высказываниям применим аппарат алгебры высказываний.
б) Не являются так сказать «абсолютными» т.е. приобретают некоторый смысл, только в связи с наличием некоторого изоморфизма между ФАТ, и другой содержательной областью. Т.е. бессмысленно задаваться вопросом – «полна ли данная система или неполна сама по себе?». Имеет смысл рассматривать полноту и непротиворечивость только по отношению к чему то конкретному, например к содержательной теории чисел, или к теории групп, или к формализованному исчислению высказываний. То есть, может быть так, что по отношению, к одной содержательной теории наша ФАТ (претендующая на модель этой теории) – полна, а по отношению к другой неполна?
P.S.
Про всё что Вы говорили мне в более ранних постах - я не забыл,
и вернусь к этому позже, просто сейчас это пока для меня - "грубая пища", и я не смогу её переварить. Но большое Вам спасибо за участие.
Вход
FAQ
Поиск
