НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Пн дек 09, 2019 8:31 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 15, 2008 12:24 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пт апр 11, 2008 4:38 am
Сообщения: 27
AGu писал(а):
Прямо скажем, очень схематичная запись.

Вот более наглядное изображение:
Изображение
S:N-->N
g(на рисунке маленькое гамма )(F) -->N - и даёт Геделевский номер какой либо формулы. (за F - я обозначил какую лбо формулу нашей теории)
G(n_0)- формула относительно которой профессор утверждает, что её нельзя ни доказать ни опровергнуть в "нашей теории". Естественно, важен вопрос о том, что такое "наша теория". Я читаю различные книги по логике, и знаю, что есть понятие теории и метатеории.
Но у меня не всегда хватает ума понять, какое рассуждение относится к теории а какое к метатеории. Помимо этого, в одной
популярной книжке по матлогике, есть такая фраза:" Самой природе ЛЮБОЙ формализации теории чисел (далее –ТЧ) свойственно то, что её МЕТАЯЗЫК содержится в ней самой" - ну в связи с такой постановкой - у меня просто начинает ехать крыша. Потому я и начал
свой первый пост в теме, с прояснения вопроса о том, что такое теория
чисел.

Дальше, попытаюсь объяснить общий уровень моих представлений:
На сегодняшний день я в своей голове разделяю две вещи:
1. Некоторый "круг вопросов" на более менее одну тему, который можно назвать - теорией чисел.
2. Формальная теория чисел - то есть способ записи арифметических
утверждений при помощи специальной типографской нотации.

По каким то совершенно непонятным причинам, считается, что любой
вопрос ТЧ может быть сформулирован в ФТЧ. Суть теоремы Гёделя состоит в том, что при этом обязательно произойдёт такая ситуация,
что правил нашей ФТЧ - будет недостаточно, что бы доказать
любую формулу, какую мы только можем записать в терминах ФТЧ,
используя разрешённые правила записи формул в нашей ФТЧ.
То есть формула - есть, и мы можем доказать, что она является действительно формулой, а вот доказательства этой формулы - нет, впрочем как нет доказательства её отрицания. Таким образом, для доказательства теоремы Гёделя, нужно сделать три вещи:
1. Предьявить некую совокупсность знаков, и доказать что она является формулой ФТЧ.
2. Показать, что найденная нами формула относится не к чему попало
а к теории чисел, и представляет там осмысленное утверждение
3. Доказать, что ни для этой формулы ни для её отрицания не существует вывода в ФТЧ, а если всё же он есть, то тогда интерпритация этой формулы в теории чисел приводит к тому, что
она становится логически противоречивой.

_________________
Единственный способ установить границы возможного - это выйти за них в невозможное.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 15, 2008 11:54 am 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Amigo писал(а):
Вот более наглядное изображение:
Все равно схематично. Если раньше Ваша фраза была просто вырвана из контекста, то теперь она вырвана из контекста с мясом (т.е. рваными обрывками контекста). :-)
Впрочем, как я понимаю, это уже не так важно. Нас ведь сейчас волнуют не детали, а общая концепция.
Amigo писал(а):
Я читаю различные книги по логике, и знаю, что есть понятие теории и метатеории.
Но у меня не всегда хватает ума понять, какое рассуждение относится к теории а какое к метатеории.
Видимо, стоит продолжить чтение. :-)
Кстати, если хочется разобраться в связях между теориями и метатеориями, стоит обратить внимание на следующую книгу:
    Дж. Булос, Р. Джеффри. Вычислимость и логика
    Москва: Мир, 1994. 396 с.
На мой взгляд, в ней этот круг вопросов изложен с большой заботой к читателю.
Amigo писал(а):
в одной популярной книжке по матлогике, есть такая фраза:" Самой природе ЛЮБОЙ формализации теории чисел (далее –ТЧ) свойственно то, что её МЕТАЯЗЫК содержится в ней самой"
Ну дык. Вы же сами назвали эту книжку "популярной". Вот там все и объясняется "популярно". :-)
Amigo писал(а):
На сегодняшний день я в своей голове разделяю две вещи:
1. Некоторый "круг вопросов" на более менее одну тему, который можно назвать - теорией чисел.
Это -- фрагмент "метатеории". На роль же самой "метатеории" обычно приглашают какую-нибудь разновидность теории множеств (иногда называемую "наивной теорией множеств"), так как довольно трудно на одном лишь языке чисел описывать языки, алгоритмы, формулы, формальные теории, модели...
Amigo писал(а):
2. Формальная теория чисел - то есть способ записи арифметических утверждений при помощи специальной типографской нотации.
А это -- уже "теория".
Amigo писал(а):
По каким то совершенно непонятным причинам, считается, что любой
вопрос ТЧ может быть сформулирован в ФТЧ.
Тому есть причины. И есть книги, где эти причины раскрываются. Сойдет любой солидный курс логики (книга Булоса-Джеффри -- в том числе).
Amigo писал(а):
Суть теоремы Гёделя состоит в том, что при этом обязательно произойдёт такая ситуация,
что правил нашей ФТЧ - будет недостаточно, что бы доказать
любую формулу, какую мы только можем записать в терминах ФТЧ,
используя разрешённые правила записи формул в нашей ФТЧ.
Только не "любую", а "любую неопровержимую".
Amigo писал(а):
То есть формула - есть, и мы можем доказать, что она является действительно формулой, а вот доказательства этой формулы - нет, впрочем как нет доказательства её отрицания.
Вот теперь -- уже лучше. :-)
Amigo писал(а):
Таким образом, для доказательства теоремы Гёделя, нужно сделать три вещи:
1. Предьявить некую совокупсность знаков, и доказать что она является формулой ФТЧ.
2. Показать, что найденная нами формула относится не к чему попало
а к теории чисел, и представляет там осмысленное утверждение
Насколько я могу судить из сказанного выше, пункт 2 -- лишний: он уже содержится в пункте 1. Мы ведь имеем дело не просто со строкой значков, а с формулой ФТЧ.
Amigo писал(а):
3. Доказать, что ни для этой формулы ни для её отрицания не существует вывода в ФТЧ
Тут я бы поставил точку. Как именно это доказывать (через интерпретации или как-то еще) -- дело техники.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 15, 2008 8:03 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пт апр 11, 2008 4:38 am
Сообщения: 27
AGu писал(а):
Насколько я могу судить из сказанного выше, пункт 2 -- лишний: он уже содержится в пункте 1. Мы ведь имеем дело не просто со строкой значков, а с формулой ФТЧ.
Amigo писал(а):
3. Доказать, что ни для этой формулы ни для её отрицания не существует вывода в ФТЧ
Тут я бы поставил точку. Как именно это доказывать (через интерпретации или как-то еще) -- дело техники.


Давайте немножко углубимся в эти вопросы.
Я сейчас приведу пример некой формальной
системы (PR), затем сформулирую своё понимание,
некоторых аспектов, а Вы проверите, что не так? Ок?
Итак, система (PR).
Алфавит системы состоит из трёх символов:
1.А={ p,r,- }
Имеется следующая схема аксиом:
2. xp- rx- где вместо x можно подставлять различные строчки тире и только их.
3.Имеется одно правило вывода: Если x,y,z строчки состоящие только из тире а xpy rz теорема нашей системы, то xpy- rz-
также теорема нашей системы.
Всё, система описана.

Про эту систему я держу в голове следующее:
1.Знаки системы абсолютно бессодержательны, цепочки знаков тоже. (я специально это обговариваю, потому что именно с этим аспектом у меня наибольшее непонимание)
2. Теоремой нашей системы является всякая строчка, которая либо аксиома, либо получена из аксиомы с помощью конечного количества применения правила вывода описанного в пункте 3 системы (PR).
Теперь делаем следующее: строим изоморфизм между бессмысленными знаками системы (PR) и некоторыми другими знаками в которых уже есть смысл. Делаем так:
Всякой последовательности символов тире ставим в соответствие некоторое число натурального ряда т.е.
- =1
--=2
---=3
….
---…--=n (тут написано n –количество тире)
Далее, символу p приписываем символ «+», и именно в таком смысле его понимаем, то есть в смысле сложения между числами.
Наконец символу r – ставим в соответствие арифметический знак равенства т.е. r= "="
Все, изоморфизм построен.
В итоге мы имеем:
Согласно схеме аксиом все строчки:
p- r- при х={}
-p- r-- при х={-}
--p- r--- х={--}

--…-p- r(--..-)- х={--..-} (n знаков тире)
-существуют в нашей системе, т.е. являются «правильно сформированными».
Теперь, если мы будем их интерпретировать, то получим:
0+1=1
1+1=2
2+1=3

n+1=n+1
то есть мы получим следующее:
1.Все интерпретированные строчки системы (PR) –
стали СОДЕРЖАТЕЛЬНЫМИ.
2.Стали обладать возможностью быть истинными или ложными. То есть стали ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ о числах, и стало быть, к ним как к высказываниям - можно применять аппарат логики, а именно - аппарат алгебры высказываний. Но к самим строчкам системы (PR) – ни какого аппарата логики применять нельзя, а можно применять только правило указанное в пункте 3.
3. Все строчки системы (PR), в результате их интерпретации стали истинными арифметическими предложениями.

Совершенно очевидно, что используя правило вывода мы можем получить и все следующие высказывания арифметики:
3+3=6
7+5=12
n+2=n+2
то есть получается, что наша формальная система (PR) – полностью моделирует сложение натуральных чисел. Что означает, что всякое сложение любых двух натуральных чисел – может быть при помощи указанного изоморфизма переведено в нашу систему (PR), и там, используя лишь конечное количество шагов, пользуюсь лишь одним правилом вывода, но только примененного
в обратную сторону, мы можем редуцировать нашу
формулу к какой –нибудь аксиоме системы (PR).
Если же, процесс редукции мы запишем виде отдельных шагов, и расположим их в обратном порядке, то построенная нами цепочка, будет ничем иным, как тем, что называется доказательством
или деривацией полученной в системе (PR), строчки, перенесённой из области арифметики, при помощи указанного изоморфизма в нашу теорию (PR). Если же (вот тут самое главное) мы вдруг решим, что результат нашей деривации может быть перенесён в область арифметики, и там рассматриваться содержательно, то тогда мы получим доказательство какого- либо арифметического утверждения, например, что 2+2=4. Но повторяю, ( для меня это очень важно)
данная деривация будет доказательством того, что 2+2=4 только, и исключительно, в связи с имеющимся изоморфизмом МЕЖДУ системой (PR) и полугруппой по сложению натуральных чисел?
Теперь я хочу попросить Вас, попытаться объяснить мне, что такое непротиворечивость системы (PR) и полнота системы (PR).
Насколько мне известно, то понятия полнота и непротиворечивость принадлежат не самой теории, а некоторой метатеории. То есть:
а) Являются ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ о некоторой ФАТ. Именно по этому- могут быть истинными или ложными, и следовательно, к ним как к высказываниям применим аппарат алгебры высказываний.
б) Не являются так сказать «абсолютными» т.е. приобретают некоторый смысл, только в связи с наличием некоторого изоморфизма между ФАТ, и другой содержательной областью. Т.е. бессмысленно задаваться вопросом – «полна ли данная система или неполна сама по себе?». Имеет смысл рассматривать полноту и непротиворечивость только по отношению к чему то конкретному, например к содержательной теории чисел, или к теории групп, или к формализованному исчислению высказываний. То есть, может быть так, что по отношению, к одной содержательной теории наша ФАТ (претендующая на модель этой теории) – полна, а по отношению к другой неполна?

P.S.
Про всё что Вы говорили мне в более ранних постах - я не забыл,
и вернусь к этому позже, просто сейчас это пока для меня - "грубая пища", и я не смогу её переварить. Но большое Вам спасибо за участие.

_________________
Единственный способ установить границы возможного - это выйти за них в невозможное.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт апр 15, 2008 9:33 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Amigo писал(а):
Теперь я хочу попросить Вас, попытаться объяснить мне, что такое непротиворечивость системы (PR) и полнота системы (PR).

Напишу и я некоторые соображения.

Обычно, когда приступают к формализации чего-либо, сначала
формулируют Исчисление, т.е. 1) указывают алфавит, 2) определяют
формулы, 3) описывают понятие выводимости. Для последнего, как
правило, требуются 3') аксиомы и 4') правила вывода. Это, так
называемый, синтаксис Исчисления, т.е. чисто механические правила
работы с ним. Затем определяют семантику Исчисления, как правило,
она состоит в определении истинности формул, т.е. придаётся
некоторый смысл формулам. И наконец, доказывается теорема
полноты и корректости Исчисления: формула выводима, тогда и только
тогда, когда она тождественно истинна. (Как правило, слова вида
"выводим*" и "доказуем*" синонимы.) Классическими примерами
исчислений являются исчисление высказываний, секвенциальное
исчисление предикатов, исчисление предикатов гильбертовского типа.

Всё это: Исчисление, аксимы, правила вывода, истинность ---
метаобъекты.

После всего этого, мы селимся в наше исчисление и начинаем жить по
его правилам, создавая уже внутри него различные миры. Миры эти,
обычно, называют теориями, которые в свою очередь являются
некоторыми множествами формул. Вот для этих теорий и определяются
понятия непротиворечивости и полноты: теория непротиворечива,
если из неё нельзя вывести некоторую формулу вместе с её
отрицанием, полна --- если из неё выводима любая формула, либо её
отрицание. (Замечу, что то же слово "полнота" здесь уже означает,
вообще говоря, совершенно иное свойство.) Понятия эти, конечно,
являются метапонятиями. Примерами непротиворечивых теорий
являются арифметика (неполна --- теорема Гёделя), теория линейного
порядка (конечно, неполна), теория плотного линейного порядка с
одинаковыми концами (полна, т.к. любые две её счётные модели
изоморфны), теория алгебраически замкнутых полей (неполна ---
почему?). И самый главный пример теории --- теория множеств, о её
непротиворечивости и полноте мы знаем лишь то, что в случае
непротиворечивости она неполна. Если потребовать от теории
замкнутости отностительно выводимости, то единственной
противоречивой теорией будут все формулы.

Обычными объектами (не мета-) при таком подходе будут те объекты,
который определяются формулами в семантическом смысле.

Ваша система PR очень похожа на Исчисление, а не на теорию,
поэтому чтобы говорить и полноте (во втором из упомянутых мною
смыслов) и непротиворечивости, нужно сформулировать её как теорию
какого-то исчисления. Если же продолжать рассуждать о ней, как об
Исчислении, то нужно не останавиливаться на определении алфавита
и выводимости, а определить ещё понятие формулы этого исчисления
и его семантику. Последнее, можно сказать, уже сделано --- в
цитируемом сообщении указан "изоморфизм". Доказать теорему
полноты и корректности. И уже потом задаться вопросом, будет ли
полным, непротиворечивым множество формул, выводимых в этом
Исчислении. Если всё это сделать, скорее всего, получится такой
ответ: множество формул, выводимых в исчислении PR,
непротиворечиво и неполно.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср апр 16, 2008 1:22 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пт апр 11, 2008 4:38 am
Сообщения: 27
Alexandr писал(а):
Обычно, когда приступают к формализации чего-либо, сначала формулируют Исчисление, т.е. 1) указывают алфавит, 2) определяют формулы, 3) описывают понятие выводимости. Для последнего, как правило, требуются 3') аксиомы и 4') правила вывода. Это, так называемый, синтаксис Исчисления, т.е. чисто механические правила работы с ним.

Получается, что моя система (PR) это просто синтаксис чего-то, так? Я только не могу понять- есть ли в моей системе формулы? Аксиомы и теоремы есть, а вот формула, что такое? Как бы можно было внести в мою систему формулы? И в чём коренное отличие формулы от теоремы? Может оно состоит в том, что формулы содержат переменные, а теоремы только конкретные строчки символов? И ещё один вопрос (забегая вперёд), скажите - в чём такая нужда отдельно определять формулы а отдельно теоремы?
Разве нельзя отождествить правила получения формул и правила
получения теорем? То есть считать, что всякая формула есть теорема и наоборот?
Alexandr писал(а):
Затем определяют семантику Исчисления, как правило,
она состоит в определении истинности формул, т.е. придаётся
некоторый смысл формулам.

Можно ли сказать, что "придать смысл формуле" = "установить изоморфизм между ею символами и знаками какой-либо самой по себе содержательной теории"
Alexandr писал(а):
И наконец, доказывается теорема полноты и корректности Исчисления: формула выводима, тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

То есть когда ей придан некий смысл, и она превратилась в высказывание некоторой теории, то ежели по смыслу теории,
данное высказывание истинно, то в таком случае, наша формула должна быть синтаксически выводима в нашем исчислении, и наоборот, если некоторая формула в нашем
исчислении выводится, то её интерпретация:
а)осмысленна
б)Истинна
так?
Alexandr писал(а):
Всё это: Исчисление, аксимы, правила вывода, истинность ---
метаобъекты.

Но ведь, Вы выше пишете, что в исчисление уже включаются
Формулы, а ниже, что теория – это и есть совокупность формул. Получается, что в исчисление включается сама теория, и она является метаобъектом… Что то я запутался…
Или Вы имеете ввиду, что не всем формулам имеющимся
в исчислении можно придать какай то смысл, а в теорию входят лишь те формулы, которым содержательный смысл
как раз можно придать, и потому, это предложение нужно понимать всмысле – " Все формулы исчисления, которым содержательного смысла придать нельзя – являются в купе - метаобъектом, по отношению к тем формулам смысл которым придать можно"?

_________________
Единственный способ установить границы возможного - это выйти за них в невозможное.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср апр 16, 2008 9:37 am 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Amigo писал(а):
Получается, что моя система (PR) это просто синтаксис чего-то, так?

Во всяком случае, очень на это похоже.
Amigo писал(а):
Я только не могу понять- есть ли в моей системе формулы?

Я, по крайней мере, определения не нашёл. Но исходя из того, что
множество выводимых формул должно содержаться в множестве всех
формул, можно дать это опредение, например, как "слова вида
xPyRz, где x,y,z суть слова алфавита {|}".
Amigo писал(а):
Аксиомы и теоремы есть, а вот формула, что такое? И в чём коренное отличие формулы от теоремы? Может оно состоит в том, что формулы содержат переменные, а теоремы только конкретные строчки символов?

Аксиомы Исчисления и аксиомы теории это, опять-таки вообще говоря,
совершенно разные вещи. Разница между формулами и теоремами
состоит в следующем: теорема --- это выводимая формула без
свободных (т.е. не попадающих под действие кванторов)
переменных. Поскольку у Вас в алфавите Исчислении нет
переменных, то и в формулах их быть не может, поэтому формула и
предложение суть синонимы, и различие между формулами и
теоремами будет в том, что последние выводимы.

Amigo писал(а):
И ещё один вопрос (забегая вперёд), скажите - в чём такая нужда отдельно определять формулы а отдельно теоремы?
Разве нельзя отождествить правила получения формул и правила
получения теорем? То есть считать, что всякая формула есть теорема и наоборот?

Нужда есть. Правила вывода, конечно, для формул вообще и теорем,
в частности, одни и те же. Теоремы и формулы нужно различать для
семаники исчисления. Как минимум, нам нужны невыводимые
формулы, чтобы адекватно оценивать свои возможности. А в
исчислениях типа исчисления предикатов понятие истинности
определяется только для предложений. Формулы же в общем случае
бывают не истинными, не ложными в зависимости от означивания
переменных.

Amigo писал(а):
Можно ли сказать, что "придать смысл формуле" = "установить изоморфизм между ею символами и знаками какой-либо самой по себе содержательной теории"

Пожалуй, что можно. Нужно только развернуть смысл слова
"изоморфизм" в этом контексте.

Amigo писал(а):
... некоторая формула в нашем
исчислении выводится, то её интерпретация:
а)осмысленна
б)Истинна
так?

Да, всё так. Только обычно пункт а) имеет место для любой формулы,
не только выводимой.

Amigo писал(а):
Alexandr писал(а):
Всё это: Исчисление, аксимы, правила вывода, истинность ---
метаобъекты.

Но ведь, Вы выше пишете, что в исчисление уже включаются
Формулы, а ниже, что теория – это и есть совокупность формул. Получается, что в исчисление включается сама теория, и она является метаобъектом… Что то я запутался…

Виноват, это я запутал. Дело в том, что для разных математиков
разные вещи являются метаобъектами. Обычно, математик сдерживает
себя в рамках какой-то теории и называет объектами те понятия,
которые существует в это теории. Например, специалист по теории
чисел чаще всего находится в арифметике Пеано, и объектами
являются числа, функции, сравнения и т.п. Рассуждение о самой этой
теории уже будут метарассуждениями. Например, множество всех
бескванторных предложений языка арифметики Пеано --- метаобъект.
Специалист же по математической логике "живёт" обычно в исчислении
предикатов, для него объектами являются формулы, теоремы,
предложения и т.п., а метаобектами --- правила вывода, деревья
вывода и пр. Для специалиста по неклассическим логикам и этого
мало, он исследует исчисления и послдение понятия для него ---
объекты. Что в это случае будет метаобъектами страшно представить.

Поэтому если опуститься (или подняться?) до уровня обычного
математика, то объектами будет то, что я назвал в предыдущем
сообщении объектами, метаобъектами --- понятия типа формул, а
элементы исчисления --- понятия типа истинности и выводимости ---
метаметаобъектами.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср апр 16, 2008 3:39 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пт апр 11, 2008 4:38 am
Сообщения: 27
С учётом всего Вами изложенного, я сейчас попытаюсь "довести" своё исчисление (PR) – до
состояния теории, а Вы проверите что не так?
Итак, система (PR_T) (исчисление (PR) – в претензии
на то, что это теория)
Алфавит системы состоит из трёх символов:
1.А={ p,r,- }
2. Имеется набор переменных x,y,z – вместо которых
можно подставлять любые символы алфавита А.
3.Каждая отдельно взятая переменная – есть формула исчисления (PR_T).
4. Если F1 и F2 – формулы, то
а) F1p- rF1-
б) F1p- rF2-
в) F2p- rF1-
г) F2p- rF2-
тоже формулы.
5.Ни каких формул кроме описываемых в пунктах
3 и 4 – нет.
6. Имеется следующая схема аксиом:
xp- rx- где вместо x – можно подставлять различные строчки тире и только их.
7.Имеется одно правило вывода: Если x,y,z – строчки состоящие только из тире а xpy rz теорема нашей системы, то xpy- rz-
также теорема нашей системы.
На этом, как я понимаю описание синтаксиса закончено. К семантике перейдём позже, а пока докажем следующие факты относительно синтаксиса:
1.Существует по крайней мере одно слово алфавита А, для которого не существует формулы, такой, что при подстановке вместо её переменных любых конкретных значений из алфавита, мы бы получили точное по виду значение этого слова.
Доказательство
Правила которые описаны для формирования формул – всегда удлиняющие т.е. количество знаков в формуле с каждым последующим применением одного из правил а-г может лишь увеличиваться. Поэтому нам достаточно рассмотреть несколько начальных комбинаций, что бы убедиться в том, что найдётся такое слово, через которое мы "перепрыгнем" на определённом шаге построения формул. Это действительно так, поскольку длины наших формул могут иметь на первых двух шагах лишь следующее количество знаков: 1;6. Причем каждая формула содержит на втором шаге две переменных, что даёт возможность
сформировать слова только следующих длин:1,4,5,6. Отсюда очевидно, что ни одно слово длины 2 или 3 – не может быть получено в результате интерпретации какой-либо формулы нашего исчисления. Ч.Т.Д.
Таким образом доказано, что множество F(формул
нашего исчисления) задаёт при интерпритации множество слов, которое включается в множество S (словарь) алфавита А – но не совпадает с ним.
F(при интерпретации) включено в S.
Теорема 2.
Не все формулы нашего исчисления выводимы в нём.
Доказательство
Если некоторая формула выводится, то будучи интерпритированной она представляет некоторое слово в нашем словаре S. Значит для доказательства, нам достаточно предъявить некоторую формулу, такую, что интерпретировав её некоторым образом, мы получим слово, но это слово не может быть выведено из аксиом 6, с использованием правила вывода 7. Согласно подпункта б) пункта 4 нашей системы,формула xp- ry- - есть формула нашего исчисления, потому, если вместо y –подставить значение r а вместо x –{}, то мы будем иметь следующее слово p- rr- которое очевидно не выводимо из наших аксиом, поскольку,
теоремами нашего исчисления могут являться строчки, такие, что после r могут идти только знаки тире, но не буквы. Значит указанная строчка недоказуема в нашем исчислении. Ч.Т.Д.

Прокомментируйте пожалуйста.

_________________
Единственный способ установить границы возможного - это выйти за них в невозможное.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср апр 16, 2008 4:58 pm 
Не в сети
Плодовитый автор

Зарегистрирован: Вт мар 23, 2004 10:09 pm
Сообщения: 747
Откуда: Gavryushkin
Подробно почитать я не успел. Обязательно сделаю это позже. Но
сразу бросилось в глаза, что, например, слово
(xP-Ry-)P-R(zP-Ry-)- будет формулой. Скобки следует стереть,
их я поставил, чтобы было ясно, почему это формула.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср апр 16, 2008 8:50 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Пт апр 11, 2008 4:38 am
Сообщения: 27
Решил немного подправить синтаксис, а то больно трудно будет
в дальнейшём.

Алфавит системы состоит из трёх символов:
1.А={ p,r,- }
2. Имеется набор переменных x,y,z – вместо которых
можно подставлять любые символы алфавита А. ( вот в этом месте мне непонятно - нужно ли включать сами переменные x,y,z в наш алфавит? или они сущестуют эфимерно? т.е. как бы сами являются
частью правил нашей системы, заключённых в том, что вместо них
можно подставлять конкретные значения из алфавита?)
3.Каждая отдельно взятая переменная – есть формула исчисления (PR_T).
4. Если F1 , F2 , F3– формулы, то
а) F1-; F2-; F3-;
б) F1pF2 rF3;
- также формулы.
5.Ни каких формул кроме описываемых в пунктах
3 и 4 – нет.
6. Имеется следующая схема аксиом:
xp- rx- где вместо x – можно подставлять различные строчки тире и только их.
7.Имеется одно правило вывода: Если x,y,z – строчки состоящие только из тире а xpy rz теорема нашей системы, то xpy- rz-
также теорема нашей системы.
Теорема 1.
1.Существует бесконечное количество слов алфавита А, для каждого из которых не существует формулы, такой, что при подстановке вместо её переменных любых конкретных значений из алфавита, мы бы получили точное по виду значение этого слова.
Доказательство
По правилу а) мы можем получить бесконечное
количество формул вида X-…-, и не можем получить не одной формулы вида XX,XXX,XX…X.
Тоже самое произойдёт если применять правило б),
поскольку – это правило предписывает вставлять между переменными буквы p или r.
Значит, если у нас имеется слово алфавита А
вида pp…p или rr…r то оно не может быть получено ни при какой интерпретации любой формулы имеющейся в нашем исчислении. Не возможно в нём получить так же ни одного слова вида pp…pr - если количество p больше 3.
Ч.Т.Д.
Таким образом доказано, что множество F(формул
нашего исчисления) задаёт при интерпритации множество слов, которое включается в множество S (словарь) алфавита А – но не совпадает с ним.
F(при интерпретации) включено в S.
Теорема 2.
Не все формулы нашего исчисления выводимы в нём.( в том смысле, что не всякая формула будучи интерпретированной- представляет слово нашего языка, такое, что оно может быть получено из
наших аксиом, используя разрешённое правило вывода).
Доказательство
Если некоторая формула выводится, то будучи интерпретированной она представляет некоторое слово в нашем словаре S. Значит для доказательства, нам достаточно предъявить некоторую формулу, такую, что интерпретировав её некоторым образом, мы получим слово, но это слово не может быть выведено из аксиом 6, с использованием правила вывода 7. Согласно подпункта б) пункта 4 нашей системы, формула xpy rz - есть формула нашего исчисления, поэтому, если вместо x,y,z –подставить значение r , то мы будем иметь следующее слово rpr rr которое очевидно не выводимо из наших аксиом, поскольку, аксиомами нашего исчисления могут являться строчки обязательно содержащие хотя бы одно тире, а правило вывода таково, что количество тире в теореме может лишь возрасти, но не уменьшиться. Значит указанная строчка не выводима в нашем исчислении. Ч.Т.Д.
Теорема 3.
Для всякой теоремы нашей теории, существует хотя бы одна формула, такая, что будучи интерпретирована даёт графическое совпадение
с нашей теоремой.
Доказательство
Поскольку формулами нашей теории являются выражения вида: X-…-,(n – кол-во тире), Y-…-,(p – кол-во тире), Z-…-,(m – кол-во тире). То применяя правило б) формирования формул, и варьируя коэффициенты n,m,p – мы можем получить любую
аксиому нашей теории, а так же добиться любого
количества тире между буквами r и p.
Что и означает, что всякая для всякой теоремы
нашего исчисления существует формула дающая
при интерпретации полное графическое совпадение.
Ч.Т.Д.

_________________
Единственный способ установить границы возможного - это выйти за них в невозможное.


Последний раз редактировалось Amigo Ср апр 16, 2008 8:53 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб апр 19, 2008 5:42 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Alexandr писал(а):
Для специалиста по неклассическим логикам и этого
мало, он исследует исчисления и послдение понятия для него ---
объекты. Что в это случае будет метаобъектами страшно представить.

А мне -- не страшно. :-) Метаобъектами тут наверняка будут классы исчислений и всякого рода морфизмы между исчислениями. Более того, пример такого морфизма у нас уже возникал: это предложенная Amigo "интерпретация" исчисления (PR) в исчислении моноидальных равенств сложности 2 с алфавитом {=,+,0,1,2,...}. Последнее, кстати, при желании может быть погружено (тоже морфизмом) в исчисление предикатов сигнатуры {+,0,1,2,...} и расширено до теории.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс апр 20, 2008 12:24 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
AGu писал(а):
Alexandr писал(а):
Для специалиста по неклассическим логикам и этого
мало, он исследует исчисления и послдение понятия для него ---
объекты. Что в это случае будет метаобъектами страшно представить.

А мне -- не страшно. :-) Метаобъектами тут наверняка будут классы исчислений и всякого рода морфизмы между исчислениями.

Пардон, заврался. Это все -- объекты, а не метаобъекты.

Если принять, что предметом исследования являются исчисления и морфизмы между ними, то можно сказать, что в данном случае исследуется категория исчислений. Тогда естественной метатеорией будет теория категорий. Ну а какие у нее типичные объекты -- хорошо известно: это категории и функторы.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс апр 20, 2008 2:14 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 435
Amigo писал(а):
Теперь делаем следующее: строим изоморфизм между бессмысленными знаками системы (PR) и некоторыми другими знаками в которых уже есть смысл.

В каком смысле здесь понимается слово "смысл"?

Amigo писал(а):
Делаем так:
Всякой последовательности символов тире ставим в соответствие некоторое число натурального ряда т.е.
- =1
--=2
---=3

Что такое 1, 2, 3? Разве это не просто знаки? Много ли "смысла" в знаке 1? Какая-то палочка с носиком... Если бы мы показали знак 1 самому продвинутому представителю цивилизации Майя, увидел бы он в этом знаке что-то "осмысленное"?

Amigo писал(а):
Далее, символу p приписываем символ "+", и именно в таком смысле его понимаем, то есть в смысле сложения между числами.

Вы видите какую-то принципиальную разницу между знаками p и +? Чем знак + более "осмыслен"? Вы говорите, что он осмыслен как сложение чисел. Но сложение чисел -- это уже не знак, это операция. Мы же пока играем в знаки, не более того.

Amigo писал(а):
Наконец символу r – ставим в соответствие арифметический знак равенства т.е. r= "="

Еще одна замена знака, не добавляющая особого "смысла".

Amigo писал(а):
Все интерпретированные строчки системы (PR) –
стали СОДЕРЖАТЕЛЬНЫМИ.

Что такое "содержательная строчка"?

Amigo писал(а):
Стали обладать возможностью быть истинными или ложными.

Разве у строчек системы (PR) не было такой возможности? Вы просто ее не предоставили. Мне лично обидно за (PR).

Amigo писал(а):
Все строчки системы (PR), в результате их интерпретации стали истинными арифметическими предложениями.

Что такое "истинная строчка"? Если Вы считаете, что, скажем, строчка "1+1=2" истинна, а строчка "1+1=1" -- не истинна, то мне лично обидно за строчку "1+1=1".

Это была полемическая затравка. Теперь -- по делу.

В предложенной "интерпретации" системы (PR) я не вижу никакой интерпретации в традиционном понимании этого термина. Я вижу лишь вычислимую (т.е. алгоритмически определимую) функцию из языка (PR) в некоторый другой язык (A). Более того, язык (A) в некотором роде хуже языка (PR), так как в отличие от (PR) язык (A) имеет бесконечный алфавит {=,+,0,1,2,...}.

Чем же язык (A) лучше языка (PR)? А тем, что он является фрагментом хорошо знакомого нам языка предикатов с равенством и сигнатурой {+,0,1,2,...}, где + -- бинарный функциональный символ, а 0,1,2,... -- символы констант. Для удобства обозначим последний язык через (PN).

В отличие от языка (PR), который Вы поленились снабдить интерпретацией (в традиционном понимании), язык (PN) уже снабжен следующей естественной (для нас, современных математиков) интерпретацией: носителем интерпретации является множество натуральных чисел, символ + интерпретируется как сложение натуральных чисел, символ константы 0 -- как число ноль, символ константы 1 -- как число один и т.д.

Тут уместно заметить, что символ 0 и число ноль -- вообще говоря, разные объекты. Например, в рамках традиционного теоретико-множественного подхода число ноль обычно определяется как пустое множество, в то время как символ 0 вполне может оказаться чем-то непустым. Разумеется, можно сразу определить символы констант 0,1,2,... как соответствующие натуральные числа, но это всего лишь частный случай.

Так вот, возвращаясь к обиженному языку (PR), можно сразу снабдить его интерпретацией, не использующей новый вспомогательный язык (A). Как это сделать -- совершенно не важно. Можно это сделать так, чтобы интерпретация языка (PR) индуцировалась уже имеющейся интерпретацией языка (A), а можно придумать и любую другую интерпретацию. При этом нет никаких принципиальных оснований считать одну интерпретацию более "содержательной" или более "осмысленной", чем другая. Просто одна из них может быть более "естественной" для нас или более "традиционной". Но это уже, разумеется, -- понятия неформальные, социально-культурные.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB