Пусть M -- классическая модель упорядоченного поля вещественных чисел с экспонентой. (Имеется в виду модель в традиционном смысле, т.е. в рамках метаматематики.)
Пусть r(x) -- формула сигнатуры {\in}, формализующая (в ZFC) утверждение о том, что x является классическим упорядоченным полем вещественных чисел с экспонентой. (Т.е. r(x) фактически повторяет конструкцию модели M на формальном уровне.) Расширим ZFC константой R, определяемой (по Бету) формулой r(R).
Пусть Ф -- множество всех предложений сигнатуры {+,-,*,0,1,<,exp} (сложение, вычитание, умножение, ноль, единица, порядок, экспонента).
Положим
T(M) = {ф из Ф : M |= ф},
T(R) = {ф из Ф : ZFC |- (R |= ф)}.
Известно, что (в предположении о справедливости гипотезы Шануэля) теория T(M) разрешима. Не следует ли отсюда, что теории T(M) и T(R) совпадают? Или что теория T(R) полна? Или что теория T(R) разрешима?
P.S. Чегой-то заплутал я в этих двух соснах (M и R), а ответ, тем не менее, хочется получить поскорее.
