НГУ

В общем откопал такую задачку:
"Найти основной период функции f(x)=sin(\pi x/4)+cos(\pi x/6)".

В принципе, легко найти период этой функции как наименьшее общее кратное периодов слагаемых, получается 24, однако, легко понять, что данный способ дает, в общем, какой-то период, но то, что он основной, --- еще нужно доказать. Доказательство, которое получилось у меня --- это где-то страница формата А-4 выкладок мелким почерком, что, как мне кажется, несколько неуместно в формате задачи из части B в ЕГЭ.
Есть ли у кого более короткое и, желательно, более "красивое" решение?

_________________
А в действительности все совсем не так, как на самом деле

Период g(x), очевидно, является и периодом g'(x).

Если выписать g'(x) и произвести самый тривиальный анализ, то можно заметить, что g'(0)=(\pi/4), на отрезке [0,2] g'(x) монотонно убывает, а на отрезке [2,4] g'(x)<0. Тем самым в интервале [0,4] периода точно нет.

Поскольку любой другой период будет делить 24, остаётся три варианта: 12, 8 и 6, которые отбрасываются перебором.

Поправлюсь: любой другой период будет иметь вид T/m, где m - целое число. То есть я ещё вариант 24/5 упустил.

Но если на g'(x) ещё немножко посмотреть, то можно увидеть, что она на отрезке [4,6] растёт, и при этом g'(6)=0. То есть периода точно нет в интервале [0,6], и остаётся перебрать только два варианта: 8 и 12, с которыми с самого начала всё ясно.

Понятно, но проблема в том, что нужно аккуратно провести анализ производной, а это не так просто для школьника для данной конкретной функции. То, что вы тут написали --- хорошо для студента и выше, однако если подробно все расписывать, то получится все как раз в пределе той самой страницы формата А-4.
То, что делал я --- выглядело так: найдем нули функции, получим 5 штук на интервале от 0 до 24, то есть период если и есть, то должен быть 24\5, то есть тот случай, что вы упустили поначалу, потом нужно просто посчитать производную функции в точках, где она обращается в 0, получаем, что в первом нуле (x=18/5) производная отрицательна, а в четвертом (x=18) равна 0, вот и все, но опять же аккуратно это занимает слишком много времени для задачи уровня "Часть B"

_________________
А в действительности все совсем не так, как на самом деле

Хм, не готов согласиться. Там, конечно, нужно кое-что угадать, например, разбиение на три случая: [0,2], [2,4] и [4,6], но если это сделано, то писать вообще ничего не надо. Всё следует из хорошо известных свойств sin(x) и cos(x), которые наглядно видны на "тригонометрическом круге". Собственно, нужно использовать два факта для cos(x):
(a) он убывает на [0,p] и возрастает на [p,2p],
(b) он положителен на [0,p/2] и отрицателен на [p/2, 3p/2],
и два аналогичных факта для sin(x), где p=\pi.

Думаю, что можно тупо найти нули функции, которая исследуется на периодичность.

Имеем

cos(\pi x/6) = - sin(\pi x/4) = cos (\pi/2 + \pi x/4),

откуда

\pi x/6 = \pi/2 + \pi x /4 + 2\pi k

или

\pi x/6 = - \pi /2 - \pi x/4 + 2 \pi k

В первом случае домножаем на 12, сокращаем на \pi и получаем

2x = 6 + 3x + 24k
x = -6 + 24k

Во втором случае действуем аналогично и имеем

2x = -6 - 3x + 24k
5x = -6 + 24k
x = -6/5 + 24k/5

Заметив, что -6 = -6/5 - 24/5, заключаем, что множество нулей функции описывается выражением -6/5 + 24k/5 и основным периодом функции может быть либо число 24, либо число 24/5. Остаётся лишь заметить, что 24/5 --- не период, так как f(0) = 1 и f(24/5) = sin 6\pi/5 + cos 4\pi/5 < 0.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

sin(\pi x/4) = 1 при x=2+8k
cos(\pi x/6) при x=2+8k сохранит значение, если k=3m, поэтому период равен 24

Нет, лучше так:
Любой период функции f(x) = sin(\pi x/4) + cos(\pi x/6)
является периодом функции F(x) = f(x-t) + f(x+t) при любом t,
поэтому является периодом каждой из функций sin(\pi x/4) и cos(\pi x/6)