НГУ

Пара слов в защиту сообщения от McUrgd. Не будем поминать всуе тервер. Введём понятие доли множества [tex]A\subset N[/tex] как [tex]P(A)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|A\cap\{1,\dots,n\}|}{n}[/tex]. Тогда понятно, что доля чётных - половина.
Аналогично определим долю в двумерном случае (используя квадраты вместо отрезков). Задача Арнольда: докажите, что
[tex]P\{(x,y)\ |\ x,y\in \mathbb{N}, x\ \mbox{and}\ y\ \mbox{are coprime}\}= 1/\zeta(2)[/tex].

Истинно случайная, это которая не псевдослучайная, а вот прям совсем случайная . К математике это не имеет отношения, скорее к технологии, я зря об этом упомянул.

С постскриптумом согласен, на всём [tex]\mathbb{N}[/tex] выбирать случайное число трудно

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.

В порядке ликбеза: а как именно вводится стандартная цилиндрическая мера на [tex]R^R[/tex]?

Такого понятия как стандартная цилиндрическая мера просто не существует, т.к. на цилиндрической [tex]\sigma[/tex]-алгебре можно обычно ввести очень много различных мер. В качестве достаточного условия для построения таких мер может выступать теорема Колмогорова о возможности продолжения согласованного семейства конечномерных мер на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру.
Сама цилиндрическая [tex]\sigma[/tex]-алгебра по определению --- это наименьшая [tex]\sigma[/tex]-алгебра содержащая цилиндрические множества. Под цилиндром понимается любое событие вида [tex]\{x\in R^R : x_{t_1}\in B_1,\dots,x_{t_n}\in B_n\}[/tex], где [tex]B_i[/tex] --- любые борелевские множества в R. Надеюсь нигде не ошибся, а то я от ТВ в любом виде уже отошел.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...

Понятно, спасибо. Определение звучит вполне разумно, если под [tex]x_{t_n}[/tex] понимать [tex]x(t_n)[/tex], т.е. значение функции [tex]x[/tex] в точке [tex]t_n[/tex]. Правда, ситуация с существованием разных мер для нас не вполне пригодна, т.к. мы хотим оценить вероятность, т.е. меру некоторого множества, а это имеет смысл только если есть стандартная мера. Но мы можем рассмотреть множество [tex][0,1]^R[/tex] вместо [tex]R^R[/tex]. Исходный вопрос при такой замене, думается, полностью сохранит свой смысл.

Тогда, принимая за аксиому, что мера всего пространства равна 1, можно смело считать, что мера [tex]\{x\in [0,1]^R : x(t_1) \in B_1, \dots ,x(t_n) \in B_n\}[/tex] равна произведению лебеговских мер [tex]\mu (B_1) \cdot \ldots \cdot \mu (B_n)[/tex]. Скорее всего, такую меру можно будет продолжить на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру и получить точную постановку задачи.

Интересно, что наше определение меры на классах функций никак не связано с мерой на [tex]R[/tex], т.е. на области определения этих функций.

Если мы примем это определение за основное, то некоторый ответ на исходный вопрос существует: множество функций из [tex][0,1]^R[/tex], непрерывных хотя бы в одной точке, неизмеримо. То есть ставить вопрос о том, насколько оно велико, бессмысленно.

Чтобы это доказать, можно заметить, что для любого измеримого класса [tex]K \subseteq [0,1]^R[/tex] (я буду называть здесь множества классами, чтобы меньше путаться) существует такое счётное множество [tex]A[/tex], что если две функции [tex]f,g[/tex] совпадают на [tex]A[/tex], то они лежат или не лежат в [tex]K[/tex] одновременно. Это, в свою очередь, можно доказать индукцией по счётным ординалам: для исходных множеств утверждение верно, так как [tex]A[/tex] можно выбрать даже конечным. На индукционном шаге достаточно рассмотреть операцию счётного объединения множеств из меньших уровней, а также операцию дополнения. Для объединения можно построить искомое множество как счётное объединение счётных множеств, а для дополнения взять тоже самое множество (это схема доказательства).

Если же это доказано, и мы предположим, что класс [tex]K[/tex] функций, непрерывных хотя бы в одной точке, измерим, то рассмотрим для него соответствующее счётное множество [tex]A[/tex]. Если [tex]f[/tex] - тождественно нулевая функция, то [tex]f \in K[/tex]. Теперь можно выбрать в [tex]R\A[/tex] счётное всюду плотное множество [tex]B[/tex] и построить [tex]g[/tex], которая равна 0 на [tex]A[/tex], 0 на [tex]B[/tex] и 1 в остальных точках. Она будет похожа на функцию Дирихле. Она будет лежать в [tex]K[/tex] и будет разрывной во всех точках - противоречие.

Но, может быть, есть и другие подходы к измеримости?

Да, я понимал индексы именно как значения в этих точках. Такое обозначение просто принято в теории случайных процессов.

Не очень понял зачем для этого переходить к единичному отрезку вместо всей прямой в качестве области значений функций. Неужели из предположения некоторой "стандартности" меры Лебега?
Продолжить такую меру пользуясь теоремой Колмогорова не удастся. Так что, то, что её можно продолжить совсем не кажется очевидным, т.к. запас теорем о продолжении мер с алгебр не сильно большой...

А зачем нам вообще нужна мера на области определения? Да и на области значений... Мы ведь вводим меру на пространстве функций. Разыгрываем функции, если уж совсем близко к ТВ терминологии приближаться. В теории случпроцессов рассматривают, правда, множество функций [tex]R^T[/tex], где Т --- произвольное мн-во. Оно даже может быть запросто неизмеримым подмножеством R. А вот область значений для построения цилиндров должна обладать борелевской [tex]\sigma[/tex]-алгеброй, но не для задания меры, а для введения соответствующего понятия измеримости.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...

Что-то похожее я высказывал в качестве гипотезы в начале этой темы.

Простите не понял: каких исходных множеств?

Дополнения до чего?
Да и я что-то подзабыл трансфинитную индукцию, т.к. больше с непрерывными вещами в математике связан был. Мы эту индукцию вообще можем вести только по счётным ординалам? Я всегда считал, что её надо вести по всем...
Дальнейшую идею вроде понял и разделяю.

Ну [tex]\sigma[/tex]-алгебр вообще-то полно ))) Так что подходов к измеримости море)) Вот только вся проблема в возможности продолжения на них мер с более-менее разумно заданных алгебр множеств...
Если отвлечься от исходной задачи, то самый простой способ сделать множество таких функций измеримыми --- это объявить его всем пространством, тогда даже конструкция с цилиндрами всё ещё будет работать.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...

Я отвечу пока только на часть замечаний, на остальные попробую позже.


Да, гипотеза подтвердилась.


Чтобы ответить на исходный вопрос, нужно иметь какую-то естественную меру на нашем пространстве. При этом желательно, чтобы мера принимала только конечные значения. Как такую меру ввести на [tex]R^R[/tex], я пока не понял. На [tex][0,1]^R[/tex] такая мера существует. Тут важно, чтобы она была естественна, иначе ответ будет игрой в определения. Мера Лебега на [tex][0,1][/tex] естественной является, это общепризнано.


Да, если забыть про естественность.


Проблему измеримости таким образом решить можно, но не проблему поиска естественной меры.


Когда мы строим наименьшую [tex]\sigma[/tex]-алгебру, включающую данный набор исходных множеств (именно в этом заключается Ваше определение измеримости), мы можем строить её элементы индукцией по счётным ординалам. Если хотите, я распишу конструкцию подробнее.

Возвращаясь к исходному вопросу: в [tex]R^n[/tex], как известно, любое измеримое по Лебегу множество равно борелевскому с точностью до множества меры 0. Мы можем перенести этот подход на [tex][0,1]^R[/tex]: пусть у нас есть исходный набор классов с мерой, который указал ОТМОРОЗОК. Назовём их борелевскими. Тогда можно определить класс меры 0 как такой класс, который для любого [tex]\varepsilon > 0[/tex] может быть покрыт счётным семейством борелевских классов суммарной меры [tex]\varepsilon[/tex].

Новое определение измеримого класса будет звучать так: это класс, который отличается от борелевского на класс меры 0.

Кажется, можно доказать, что класс функций, непрерывных хотя бы в одной точке, будет иметь меру 0.

В довесок к предыдущему: если вам попалась какая-то функция на R, и она вдруг оказалась непрерывной в какой-то точке, смело можете считать себя счастливчиком - вы стали свидетелем события вероятности 0!


А почему здесь неприменима теорема Колмогорова?