Pavel E. Alaev писал(а):
Определение звучит вполне разумно, если под [tex]x_{t_n}[/tex] понимать [tex]x(t_n)[/tex], т.е. значение функции [tex]x[/tex] в точке [tex]t_n[/tex].
Да, я понимал индексы именно как значения в этих точках. Такое обозначение просто принято в теории случайных процессов.
Pavel E. Alaev писал(а):
Правда, ситуация с существованием разных мер для нас не вполне пригодна, т.к. мы хотим оценить вероятность, т.е. меру некоторого множества, а это имеет смысл только если есть стандартная мера.
Но мы можем рассмотреть множество [tex][0,1]^R[/tex] вместо [tex]R^R[/tex]. Исходный вопрос при такой замене, думается, полностью сохранит свой смысл.
Не очень понял зачем для этого переходить к единичному отрезку вместо всей прямой в качестве области значений функций. Неужели из предположения некоторой "стандартности" меры Лебега?
Pavel E. Alaev писал(а):
Тогда, принимая за аксиому, что мера всего пространства равна 1, можно смело считать, что мера [tex]\{x\in [0,1]^R : x(t_1) \in B_1, \dots ,x(t_n) \in B_n\}[/tex] равна произведению лебеговских мер [tex]\mu (B_1) \cdot \ldots \cdot \mu (B_n)[/tex]. Скорее всего, такую меру можно будет продолжить на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру и получить точную постановку задачи.
Продолжить такую меру пользуясь теоремой Колмогорова не удастся. Так что, то, что её можно продолжить совсем не кажется очевидным, т.к. запас теорем о продолжении мер с алгебр не сильно большой...
Pavel E. Alaev писал(а):
Интересно, что наше определение меры на классах функций никак не связано с мерой на [tex]R[/tex], т.е. на области определения этих функций.
А зачем нам вообще нужна мера на области определения? Да и на области значений... Мы ведь вводим меру на пространстве функций. Разыгрываем функции, если уж совсем близко к ТВ терминологии приближаться. В теории случпроцессов рассматривают, правда, множество функций [tex]R^T[/tex], где Т --- произвольное мн-во. Оно даже может быть запросто неизмеримым подмножеством R. А вот область значений для построения цилиндров должна обладать борелевской [tex]\sigma[/tex]-алгеброй, но не для задания меры, а для введения соответствующего понятия измеримости.