НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Вс окт 20, 2019 9:39 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб мар 05, 2011 3:18 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Коба писал(а):
Бр-р-р...

Пара слов в защиту сообщения от McUrgd. Не будем поминать всуе тервер. Введём понятие доли множества [tex]A\subset N[/tex] как [tex]P(A)=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|A\cap\{1,\dots,n\}|}{n}[/tex]. Тогда понятно, что доля чётных - половина.
Аналогично определим долю в двумерном случае (используя квадраты вместо отрезков). Задача Арнольда: докажите, что
[tex]P\{(x,y)\ |\ x,y\in \mathbb{N}, x\ \mbox{and}\ y\ \mbox{are coprime}\}= 1/\zeta(2)[/tex].


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб мар 05, 2011 4:56 pm 
Не в сети
Начинающий автор

Зарегистрирован: Сб сен 16, 2006 11:23 am
Сообщения: 290
Коба писал(а):
Я, конечно, многое успел забыть, в связи с чем в упор не понимаю написанное? В частности, не понимаю, что такое "истинно случайная функция".

P. S. Ну нельзя ввести на счётном множестве равномерно распределённую случайную величину! Счётная аддитивность нарушается, да и конечная тоже :)
Истинно случайная, это которая не псевдослучайная, а вот прям совсем случайная :) . К математике это не имеет отношения, скорее к технологии, я зря об этом упомянул.

С постскриптумом согласен, на всём [tex]\mathbb{N}[/tex] выбирать случайное число трудно :(

_________________
No regret, no remorse, no mercy.
Я мёртв.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср мар 09, 2011 9:18 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
ОТМОРОЗОК писал(а):
... его вероятность определяется соответствующей мерой в пр-ве [tex]R^R[/tex]. Учитывая, что в этом пр-ве вводится цилиндрическая [tex]\sigma[/tex]-алгебра, я не уверен, что это событие, вообще, является событием, т.е. элементом этой [tex]\sigma[/tex]-алгебры, т.е. это множество может вполне оказаться не измеримым... Это надо к хорошим специалистам по ТВ обратится, может они и сразу знают ответ.

В порядке ликбеза: а как именно вводится стандартная цилиндрическая мера на [tex]R^R[/tex]?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 10, 2011 12:00 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Вс апр 20, 2008 10:57 pm
Сообщения: 48
Pavel E. Alaev писал(а):
В порядке ликбеза: а как именно вводится стандартная цилиндрическая мера на [tex]R^R[/tex]?

Такого понятия как стандартная цилиндрическая мера просто не существует, т.к. на цилиндрической [tex]\sigma[/tex]-алгебре можно обычно ввести очень много различных мер. В качестве достаточного условия для построения таких мер может выступать теорема Колмогорова о возможности продолжения согласованного семейства конечномерных мер на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру.
Сама цилиндрическая [tex]\sigma[/tex]-алгебра по определению --- это наименьшая [tex]\sigma[/tex]-алгебра содержащая цилиндрические множества. Под цилиндром понимается любое событие вида [tex]\{x\in R^R : x_{t_1}\in B_1,\dots,x_{t_n}\in B_n\}[/tex], где [tex]B_i[/tex] --- любые борелевские множества в R. Надеюсь нигде не ошибся, а то я от ТВ в любом виде уже отошел.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 10, 2011 2:03 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
ОТМОРОЗОК писал(а):
Такого понятия как стандартная цилиндрическая мера просто не существует ...

Понятно, спасибо. Определение звучит вполне разумно, если под [tex]x_{t_n}[/tex] понимать [tex]x(t_n)[/tex], т.е. значение функции [tex]x[/tex] в точке [tex]t_n[/tex]. Правда, ситуация с существованием разных мер для нас не вполне пригодна, т.к. мы хотим оценить вероятность, т.е. меру некоторого множества, а это имеет смысл только если есть стандартная мера. Но мы можем рассмотреть множество [tex][0,1]^R[/tex] вместо [tex]R^R[/tex]. Исходный вопрос при такой замене, думается, полностью сохранит свой смысл.

Тогда, принимая за аксиому, что мера всего пространства равна 1, можно смело считать, что мера [tex]\{x\in [0,1]^R : x(t_1) \in B_1, \dots ,x(t_n) \in B_n\}[/tex] равна произведению лебеговских мер [tex]\mu (B_1) \cdot \ldots \cdot \mu (B_n)[/tex]. Скорее всего, такую меру можно будет продолжить на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру и получить точную постановку задачи.

Интересно, что наше определение меры на классах функций никак не связано с мерой на [tex]R[/tex], т.е. на области определения этих функций.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 10, 2011 10:35 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Если мы примем это определение за основное, то некоторый ответ на исходный вопрос существует: множество функций из [tex][0,1]^R[/tex], непрерывных хотя бы в одной точке, неизмеримо. То есть ставить вопрос о том, насколько оно велико, бессмысленно.

Чтобы это доказать, можно заметить, что для любого измеримого класса [tex]K \subseteq [0,1]^R[/tex] (я буду называть здесь множества классами, чтобы меньше путаться) существует такое счётное множество [tex]A[/tex], что если две функции [tex]f,g[/tex] совпадают на [tex]A[/tex], то они лежат или не лежат в [tex]K[/tex] одновременно. Это, в свою очередь, можно доказать индукцией по счётным ординалам: для исходных множеств утверждение верно, так как [tex]A[/tex] можно выбрать даже конечным. На индукционном шаге достаточно рассмотреть операцию счётного объединения множеств из меньших уровней, а также операцию дополнения. Для объединения можно построить искомое множество как счётное объединение счётных множеств, а для дополнения взять тоже самое множество (это схема доказательства).

Если же это доказано, и мы предположим, что класс [tex]K[/tex] функций, непрерывных хотя бы в одной точке, измерим, то рассмотрим для него соответствующее счётное множество [tex]A[/tex]. Если [tex]f[/tex] - тождественно нулевая функция, то [tex]f \in K[/tex]. Теперь можно выбрать в [tex]R\A[/tex] счётное всюду плотное множество [tex]B[/tex] и построить [tex]g[/tex], которая равна 0 на [tex]A[/tex], 0 на [tex]B[/tex] и 1 в остальных точках. Она будет похожа на функцию Дирихле. Она будет лежать в [tex]K[/tex] и будет разрывной во всех точках - противоречие.

Но, может быть, есть и другие подходы к измеримости?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт мар 10, 2011 11:47 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Вс апр 20, 2008 10:57 pm
Сообщения: 48
Pavel E. Alaev писал(а):
Определение звучит вполне разумно, если под [tex]x_{t_n}[/tex] понимать [tex]x(t_n)[/tex], т.е. значение функции [tex]x[/tex] в точке [tex]t_n[/tex].

Да, я понимал индексы именно как значения в этих точках. Такое обозначение просто принято в теории случайных процессов.
Pavel E. Alaev писал(а):
Правда, ситуация с существованием разных мер для нас не вполне пригодна, т.к. мы хотим оценить вероятность, т.е. меру некоторого множества, а это имеет смысл только если есть стандартная мера.
Но мы можем рассмотреть множество [tex][0,1]^R[/tex] вместо [tex]R^R[/tex]. Исходный вопрос при такой замене, думается, полностью сохранит свой смысл.

Не очень понял зачем для этого переходить к единичному отрезку вместо всей прямой в качестве области значений функций. Неужели из предположения некоторой "стандартности" меры Лебега?
Pavel E. Alaev писал(а):
Тогда, принимая за аксиому, что мера всего пространства равна 1, можно смело считать, что мера [tex]\{x\in [0,1]^R : x(t_1) \in B_1, \dots ,x(t_n) \in B_n\}[/tex] равна произведению лебеговских мер [tex]\mu (B_1) \cdot \ldots \cdot \mu (B_n)[/tex]. Скорее всего, такую меру можно будет продолжить на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру и получить точную постановку задачи.
Продолжить такую меру пользуясь теоремой Колмогорова не удастся. Так что, то, что её можно продолжить совсем не кажется очевидным, т.к. запас теорем о продолжении мер с алгебр не сильно большой...
Pavel E. Alaev писал(а):
Интересно, что наше определение меры на классах функций никак не связано с мерой на [tex]R[/tex], т.е. на области определения этих функций.

А зачем нам вообще нужна мера на области определения? Да и на области значений... Мы ведь вводим меру на пространстве функций. Разыгрываем функции, если уж совсем близко к ТВ терминологии приближаться. В теории случпроцессов рассматривают, правда, множество функций [tex]R^T[/tex], где Т --- произвольное мн-во. Оно даже может быть запросто неизмеримым подмножеством R. А вот область значений для построения цилиндров должна обладать борелевской [tex]\sigma[/tex]-алгеброй, но не для задания меры, а для введения соответствующего понятия измеримости.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт мар 11, 2011 12:05 am 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Вс апр 20, 2008 10:57 pm
Сообщения: 48
Pavel E. Alaev писал(а):
Если мы примем это определение за основное,
то некоторый ответ на исходный вопрос существует: множество функций из [tex][0,1]^R[/tex], непрерывных хотя бы в одной точке, неизмеримо. То есть ставить вопрос о том, насколько оно велико, бессмысленно.

Что-то похожее я высказывал в качестве гипотезы в начале этой темы.
Pavel E. Alaev писал(а):
Это, в свою очередь, можно доказать индукцией по счётным ординалам: для исходных множеств утверждение верно, так как [tex]A[/tex] можно выбрать даже конечным.

Простите не понял: каких исходных множеств?
Pavel E. Alaev писал(а):
На индукционном шаге достаточно рассмотреть операцию счётного объединения множеств из меньших уровней, а также операцию дополнения.

Дополнения до чего?
Да и я что-то подзабыл трансфинитную индукцию, т.к. больше с непрерывными вещами в математике связан был. Мы эту индукцию вообще можем вести только по счётным ординалам? Я всегда считал, что её надо вести по всем...
Дальнейшую идею вроде понял и разделяю.
Pavel E. Alaev писал(а):
Но, может быть, есть и другие подходы к измеримости?

Ну [tex]\sigma[/tex]-алгебр вообще-то полно ))) Так что подходов к измеримости море)) Вот только вся проблема в возможности продолжения на них мер с более-менее разумно заданных алгебр множеств...
Если отвлечься от исходной задачи, то самый простой способ сделать множество таких функций измеримыми --- это объявить его всем пространством, тогда даже конструкция с цилиндрами всё ещё будет работать.

_________________
Даже когда тебя съели, у тебя есть по крайней мере два выхода...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт мар 11, 2011 3:44 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Я отвечу пока только на часть замечаний, на остальные попробую позже.

ОТМОРОЗОК писал(а):
Что-то похожее я высказывал в качестве гипотезы в начале этой темы.

Да, гипотеза подтвердилась.

ОТМОРОЗОК писал(а):
Не очень понял, зачем для этого переходить к единичному отрезку вместо всей прямой в качестве области значений функций.

Чтобы ответить на исходный вопрос, нужно иметь какую-то естественную меру на нашем пространстве. При этом желательно, чтобы мера принимала только конечные значения. Как такую меру ввести на [tex]R^R[/tex], я пока не понял. На [tex][0,1]^R[/tex] такая мера существует. Тут важно, чтобы она была естественна, иначе ответ будет игрой в определения. Мера Лебега на [tex][0,1][/tex] естественной является, это общепризнано.

ОТМОРОЗОК писал(а):
Ну [tex]\sigma[/tex]-алгебр вообще-то полно ))) Так что подходов к измеримости море))

Да, если забыть про естественность.

ОТМОРОЗОК писал(а):
... вся проблема в возможности продолжения на них мер с более-менее разумно заданных алгебр множеств... Если отвлечься от исходной задачи, то самый простой способ сделать множество таких функций измеримыми --- это объявить его всем пространством, тогда даже конструкция с цилиндрами всё ещё будет работать.

Проблему измеримости таким образом решить можно, но не проблему поиска естественной меры.

ОТМОРОЗОК писал(а):
Pavel E. Alaev писал(а):
Это, в свою очередь, можно доказать индукцией по счётным ординалам: для исходных множеств утверждение верно, так как [tex]A[/tex] можно выбрать даже конечным.

Простите не понял: каких исходных множеств?

Pavel E. Alaev писал(а):
На индукционном шаге достаточно рассмотреть операцию счётного объединения множеств из меньших уровней, а также операцию дополнения.

Дополнения до чего?
Да и я что-то подзабыл трансфинитную индукцию, т.к. больше с непрерывными вещами в математике связан был. Мы эту индукцию вообще можем вести только по счётным ординалам? Я всегда считал, что её надо вести по всем...

Когда мы строим наименьшую [tex]\sigma[/tex]-алгебру, включающую данный набор исходных множеств (именно в этом заключается Ваше определение измеримости), мы можем строить её элементы индукцией по счётным ординалам. Если хотите, я распишу конструкцию подробнее.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт мар 11, 2011 3:56 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
Возвращаясь к исходному вопросу: в [tex]R^n[/tex], как известно, любое измеримое по Лебегу множество равно борелевскому с точностью до множества меры 0. Мы можем перенести этот подход на [tex][0,1]^R[/tex]: пусть у нас есть исходный набор классов с мерой, который указал ОТМОРОЗОК. Назовём их борелевскими. Тогда можно определить класс меры 0 как такой класс, который для любого [tex]\varepsilon > 0[/tex] может быть покрыт счётным семейством борелевских классов суммарной меры [tex]\varepsilon[/tex].

Новое определение измеримого класса будет звучать так: это класс, который отличается от борелевского на класс меры 0.

Кажется, можно доказать, что класс функций, непрерывных хотя бы в одной точке, будет иметь меру 0.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб мар 12, 2011 10:43 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
В довесок к предыдущему: если вам попалась какая-то функция на R, и она вдруг оказалась непрерывной в какой-то точке, смело можете считать себя счастливчиком - вы стали свидетелем события вероятности 0!

ОТМОРОЗОК писал(а):
Pavel E. Alaev писал(а):
Тогда, принимая за аксиому, что мера всего пространства равна 1, можно смело считать, что мера [tex]\{x\in [0,1]^R : x(t_1) \in B_1, \dots ,x(t_n) \in B_n\}[/tex] равна произведению лебеговских мер [tex]\mu (B_1) \cdot \ldots \cdot \mu (B_n)[/tex]. Скорее всего, такую меру можно будет продолжить на всю [tex]\sigma[/tex]-алгебру и получить точную постановку задачи.

Продолжить такую меру пользуясь теоремой Колмогорова не удастся.

А почему здесь неприменима теорема Колмогорова?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB