НГУ

Теорема Лёвенгейма - Сколема для NBG

Теорема Лёвенгейма - Сколема о понижении мощности -
если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель.
Теорема Кантора гласит, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.
Отсюда следует, что теорема Кантора не выразима в NBG.
Это так ?

Да ну что за бред? Выразима, конечно.

Мощность вводится через инъекции и биекции. А что понимается под ними в этой самой счётной модели? Всего лишь какие-то элементы носителя, для которых выполняются определённые свойства, но эти свойства выражаются, в конечном итоге, через отношение принадлежности, а предикат "принадлежности" на счётной модели - это всего лишь некоторое бинарное отношение, связываюшее элементы носителя и не имеющее ничего общего с реальной принадлежностью множеств.

Так что всё у нас в энтой счётной модели будет. Но лишь в некоем абстрактном смысле, расходящимся с традиционным. В частности, будет и "действительная прямая", не "равномощная" "натуральному ряду". Надо лишь помнить, что она неравномощна в том смысле, что на модели не будет выполняться формула, утверждающая существование объекта со свойством "являться биекцией натурального ряда на действительную прямую". И что с того? Говорить о том, что эти два элемента модели равномощны или не равномощны "на самом деле" совершенно некорректно. Они и множествами-то по настоящему не являются: всего лишь две абстрактные точки, два элемента счётного носителя.

Можно, конечно, зафиксировать эти два объекта и образовать из них два "настоящих множества", собрав для каждого в кучу все элементы модели, "принадлежащие" ему в смысле внутримодельной интерпретации сигнатурного значка . Оба этих множества, естественно, окажутся счётными, но любая биекция между ними - это уже "внешний" по отношению к модели объект: некоторое реальное множество, возможно вообще не принадлежащее носителю, а даже если и принадлежащее ему, то лишь как некая абстрактная точка, свойства которой внутри модели не имеют ничего общего с её "внутренними" свойствами.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Здравствуйте, Александр. Определённое замешательство, возникающее при сопоставлении теоремы Лёвенгейма-Сколема и факта о выразимости теоретико-множественных результатов в ZFC/NGB, известно в литературе и фигурирует под названием парадокса Сколема. Кратко об этом можно почитать на сс. 376-378 классической монографии

Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИИЛ, 1957.