(1) Если теория ZF непротиворечива, то существует модель теории ZF, в которой истинно следующее утверждение: существует бесконечное множество, являющееся конечным по Дедекинду. (Как именно устроена такая модель — не знаю, не изучал.)
(2) В теории ZFC доказуема равносильность конечности и конечности по Дедекинду. Если теория ZFC непротиворечива, то существует модель

теории ZFC, в которой существует такой элемент

, что

— натуральное число
)
и
))
для любого (мета)натурального

, где
=S(S(\cdots(S(0))\cdots)))
—

-кратное применение символа следования

к константе

. (В качестве такой модели

подходит ультрастепень любой модели ZFC по любому неглавному ультрафильтру над любым бесконечным множеством.)