НГУ

Множество конечное по Дедекинду :
множество конечно, если не существует собственного подмножества этого множества, равномощного этому множеству.
Гуру пишут, что :
В ZF могут существовать множества, которые конечны по Дедекинду, но не равномощны никакому натуральному числу. (1)
В ZFC так не бывает, но у неё есть нестандартные модели, в которых есть "бесконечные" натуральные числа. (2)

Можно ли поподробнее об (1) и (2) ?

(1) Если теория ZF непротиворечива, то существует модель теории ZF, в которой истинно следующее утверждение: существует бесконечное множество, являющееся конечным по Дедекинду. (Как именно устроена такая модель — не знаю, не изучал.)

(2) В теории ZFC доказуема равносильность конечности и конечности по Дедекинду. Если теория ZFC непротиворечива, то существует модель теории ZFC, в которой существует такой элемент , что — натуральное число и для любого (мета)натурального , где — -кратное применение символа следования к константе . (В качестве такой модели подходит ультрастепень любой модели ZFC по любому неглавному ультрафильтру над любым бесконечным множеством.)

Здравствуйте !

AGu, Вы пишите :
(2) В теории ZFC доказуема равносильность конечности и конечности по Дедекинду.

Что такое конечность ?
C ультрафильтрами - это сильно, но для меня сложновато

С уважением
А. Дорин

Равномощность натуральному числу.