НГУ

Частный случай есть частный случай не надо его забывать. Он приведен в учебнике Савельева Курс общей физики в 5 томах издание 4 1998г. стр202 - 203 первого тома Механика. Цитата: В силу принципа относительности системы К и К' совершенно равноправны. Единственное формальное различие их заключается в том, что отсчитанная в системе К иксовая координата начала О' системы К' изменяется по закону
x_O'=V_ O t, в то время как отсчитанная в системе К' иксовая координата начала О системы К изменяется по закону
x'_O = - V_O t'
Это различие вызвано тем, что направления осей x и x' мы выбрали одинаковыми, а системы К и К' движутся относительно друг друга в противоположных напрвлениях. Поэтому проекция относительной скорости на ось x системы К равна V_O, а на ось x' системы К' равна - V_ O.
Как видим хороший частный случай из которого разные координаты и расстояния в силу различия t и t' выдаются за одно расстояние. Ведь О-О' равно О' - O. x_ O'= расстояние O - O', а x'_ O = расстояние O' - O.
Все сначала и ладом - это для новой теории. Бездумно копировать рисунок из одной теории в другую не надо. Для определения расстояния между началами есть одна скорость и разные времена. Если за время t попали в т. О', а за время t' не попали обратно, то сделайте соответствующую поправку в рисунке. Кстати в системе К есть только начало системы К' и наоборот.
Точка O проходит расстояние относительно точки O' не одномоментно, а за промежуток времени t. А точка O' проходит расстояние относительно точки O за промежуток времени t'. Скорость относительная движения точек относительно друг друга одна V0. Значит точки пройдут разные расстояния относительно друг друга. Может Вам в этом что то непонятно?
Представьте два одинаковых и противоположно направленных вектора V0 и -V0 Умножьте на один скаляр. Откуда начали откладывать вектора туда и вернетесь t=t' . А вот если t и t' не равны то не вернетесь. А в рис. по СТО возвращаетесь. Может законы математики в СТО не действуют?
Два расстояния за одно выдавать как будто не надо. В рис. по СТО нет точек не попадания в т. О или О'. V0t - это вектор перемещения из т.О в т. О' . (- V0t') - это вектор перемещения из т О' в т. О . Почему на рис. по СТО эти вектора совпадают по размерам если t не равно t'?
Если сравнивать нельзя, ( штрихованные с нештрихованными) то рисовать надо два рисунка для штрихованного времени и нештрихованного.
Иначе вектор V0 и вектор (- V0) при умножении на два разных скаляра t и t' дадут два расстояния.
Одно в одном рис. между началами систем K и K' другое расстояние на другом рисунке между теми же началами систем. А то запутаться можно. Начав откладывать вектор перемещения между началами систем K и K' т.е. точками О и О' назад можно вернуться только умножив вектор V0 на скаляр - t на одном рисунке и на скаляр -t' на другом
Ничего общего между рис. нет и рисовать один общий рис. неправильно. Или Вы не согласны?

Интересует;

положение точки O (начало первой системы) относительно второй системы через время t в первой системе? (где относительно второй системы будет первая тогда, когда часы в первой системе покажут t)
- положение точки O относительно второй системы через время t' во второй системе? (где относительно второй системы будет первая тогда, когда часы во второй системе покажут t')
- положение точки O' относительно первой системы через время t?
- положение точки O' относительно первой системы через время t'?

Как видите, есть четыре способа измерять "смещение точек". Есть четыре возможных размещения двух точек. Но как две точки размещаются в четырех местах?

Попробуем сформулировать задачу. В начальный момент времени точки О и O' совпадают.
И есть стержень длиной L , который покоится относительно первой системы отсчета с началом отсчета в точке О. Один конец стержня находится в точке О.
Как только точка O' достигнет конца стержня, отмечаем в один момент в системе
штриховой концы стержня t'1=t'2=b Разность L'=x'2 - x'1 даст длину стержня в системе штриховой относительно которой он движется.
Для системы не штриховой поступим так же в один момент t1=t2=a; L= x2 - x1
Допустим L и L' по длине не совпадают, а одна из точек находится в одном месте пространства. Имеем O - O' = L = vt = va и O' - O = L' = - vt' = vb Если например точка О в одном месте пространства, то точка O' одновременно в двух местах пространства или нет?

Скорость это вектор. Относительная скорость - скаляр.
Путь это вектор. Расстояние - скаляр.
Если точки сближаются с расстояния L при относительной скорости V, то время сближения будет
Ничего сложного показать это графически. Но считать надо по по Галилею.
Если движущийся стержень будет сокращаться по Хевисайду, то возможны варианты.
Можно получить преобразования типа Лоренца, а можно и без них.