НГУ

Может ли, наибольший общий делитель равняться единице???

Это вопрос с подвохом? Или вы просто издеваетесь?

Используя алгоритм Евклида при нахождении НОД получается 1. Возможно ли это?

А почему нет? Рассмотрите, к примеру, числа 2 и 3

_________________
Мордор жил, Мордор жив, Мордор будет жить!

Ну да в принципе, просто когда большие числа, как-то это подозрительно...

А чего подозрительного? Вы с понятием "взаимно простые числа" знакомы? Простейший пример: возьмите пару натуральных чисел (размер значения не имеет ), одно из которых - простое, а второе не делится на первое. У простого числа всего два делителя - единица и оно само. Если второе число на первое не делится, то общим делителем у них может быть только единица.

_________________
Мордор жил, Мордор жив, Мордор будет жить!

Как доказать, что из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3???

По остаткам

_________________
"Физика рождается в общении."
Вернер Гейзенберг.

пусть первое из этих чисел X не делится на три, тогда в остатке (при делении) на три оно дает либо 1, либо 2, верно? В первом случае, X+2 делится на три, во втором случае X+1 делится на три
Найдёте ошибку?

_________________
А мы гуляли, пели, шли своей тропой. Мы открывали двери, хоть вход был запрещен. Мы шли в огонь.
Знай, паскуда, вольных, знай!

А можно ещё немного поизвращаться. Например так:

Теорема Для любого натурального числа n одно из чисел n, n+1, n+2 делится на 3.

Доказательство Индукция по n.

База. При n = 1 число n + 2 = 3 делится на 3.

Шаг индукции. Пусть одно из чисел n, n+1, n+2 делится на 3. Если n делится на 3, то n+3 также делится на 3. Если же n не делится на 3, то на 3 делится либо n+1, либо n+2. В обоих случаях одно из чисел n+1, (n+1)+1 = n+2, (n+1)+2 = n+3 делится на 3.

Конец доказательства.

-------------------------------------

Кто ещё что-нибудь придумает?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind

Лишнее утверждение. Надо просто: "Если n делится на 3, то всё доказано".

_________________
Мордор жил, Мордор жив, Мордор будет жить!

Ничего не лишнее. Это шаг индукции. Нужно показать, что среди
следующих трёх чисел найдётся число, на 3 делящееся.

_________________
Ненужность матана — не повод его не осилить

Доказательство от противного
Пусть существуют некое минимальное X, такое, что X, X+1, X+2 не делятся на три. Тогда X-1 не делится на три (иначе X+2 делится на три). Ну а это противоречие с минимальностью X, так как X-1, X, X+1 не делятся ни три.

_________________
А мы гуляли, пели, шли своей тропой. Мы открывали двери, хоть вход был запрещен. Мы шли в огонь.
Знай, паскуда, вольных, знай!

Это лишь доказывает, что если найдётся хотя бы одна тройка (x, x+1, x+2) такая, что все три числа не делятся на три, то существует бесконечное и неограниченное снизу множество таких троек (вспомним, что существуют отрицательные числа). Это несомненно полезное утверждение, но автору задачи требуется доказать несколько другое

_________________
АФ

Я же показал противоречие с минимальностью X. А то, что можно взять минимальный X (разумеется, положительный), понятно из двух причин: если есть отрицательная тройка чисел, неделящихся на три, то есть и положительная. А тройка, начинающаяся с единицы, заведомо содержит в себе число, которое делится на три
Задачка поинтереснее, в аксиомах Пеано вывести
Для любого x ( Существует y ( y*s(s(s(0))) = x ) или Существует y ( y*s(s(s(0))) = s(x) ) или Существует y ( y*s(s(s(0))) = s(s(x)) ) )

_________________
А мы гуляли, пели, шли своей тропой. Мы открывали двери, хоть вход был запрещен. Мы шли в огонь.
Знай, паскуда, вольных, знай!