НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Ср сен 18, 2019 6:21 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
СообщениеДобавлено: Пт май 18, 2007 8:06 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Ср май 09, 2007 3:07 am
Сообщения: 91
Откуда: Vadim Sayafarov
Возник такой вопрос:

Рассмотрим алгебру с одной бинарной операцией, удовлетворяющей тождествам:
- для любого x x*x=x
- для любых x,y,z,t (x*y)*(z*t)=(x*z)*(y*t).

Вопрос: существуют ли на ней эндоморфизмы, отличные от тождественного?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб май 19, 2007 11:30 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Ну вот возьмём в качестве алгебры множество всех подмножеств некоторого множества X. Операцию будем интерпретировать как пересечение множеств.

Обе аксиомы выполнены. Отображение, переводящее все элементы алгебры в некоторое фиксированное подмножество X, сохраняет операции, однако не является тождественным.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб май 19, 2007 2:09 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Ср май 09, 2007 3:07 am
Сообщения: 91
Откуда: Vadim Sayafarov
Да, действительно. Спасибо.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн май 21, 2007 2:08 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт сен 27, 2001 7:00 am
Сообщения: 1637
dwatt писал(а):
Возник такой вопрос: ...

На всякий случай спрошу: а у Вас точно вопрос именно так звучал? Больно уж вторая аксиома странная, если * хотя бы ассоциативна и коммутативна, то это заведомо верно, а таких алгебр чрезвычайно много. Может быть, имелась в виду сдандартная алгебра над полем, то есть с +, с умножением на элементы поля и ещё с этой *?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн май 21, 2007 7:04 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Pavel E. Alaev писал(а):
Может быть, имелась в виду сдандартная алгебра над полем, то есть с +, с умножением на элементы поля и ещё с этой *?


А разница?

Берём булево кольцо, его можно рассматривать как алгебру над полем F_2. Есть нулевой эндоморфизм, который почти всегда отличен от тождественного...

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 22, 2007 3:36 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
dwatt писал(а):
Вопрос: существуют ли на ней эндоморфизмы, отличные от тождественного?

Существуют - берём произвольный элемент а и задаём отображение А : х -> а. Из идемпотентности очевидно, что это эндоморфизм.

Pavel E. Alaev писал(а):
На всякий случай спрошу: а у Вас точно вопрос именно так звучал? Больно уж вторая аксиома странная, ...

Она не странная - это тождество называется энтропическим (а также медиальным) и позволяет из уже имеющихся эндоморфизмов строить новые. То есть в любом группоиде, удовлетворяющем этому тождеству все эндоморфизмы суммируемы. Суммируемость двух эндоморфизмов A и В означает, что отображение
х-> A(x)B(x)
тоже является эндоморфизмом.
Для многообразий верно и обратное: если все группоиды многообразия обладают условием суммируемости эндоморфизмов, то в этом многообразии справедливо тождество энтропии. Для индивидуальных группоидов это не так: существуют группоиды с суммируемыми эндоморфизмами, но не удовлетворяющие тождеству энтропии. Первый такой пример появился в 60-х в той же работе (не помню кого - надо заглянуть в свою работу, в которой я строил аналогичный пример), в которой вводилось понятие суммируемости.
P.S. Исторически первым примером свойства, характеризуемом в многообразии тождеством было свойство перестановочности конгруенций и принадлежит А.И.Мальцеву. Сейчас все подобные условия называют условиями типа Мальцева.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB