НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт фев 22, 2018 8:18 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Я уже решил эту задачу
Опрос закончился Вс ноя 05, 2006 8:42 am
Да 46%  46%  [ 6 ]
Нет 54%  54%  [ 7 ]
Всего голосов : 13
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача для новосибирцев
СообщениеДобавлено: Вт окт 31, 2006 3:47 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
bolbot писал(а):
В человеческом виде это можно посмотреть здесь. Когда же у нас кто-нибудь такое сделает?


На том форуме, ссылку на который приводит bolbot, встретил следующую задачу:

Можно ли в R (с естественным порядком) изоморфно вложить первый несчётный кардинал \omega_1 (как линейно упорядоченное множество)?

Почему-то там её никто не решил. Оно и понятно: на том форуме в основном одни москвичи, что с них возьмёшь? У нас же, я думаю, эту задачку за 5 минут расщёлкают (думаю, её можно смело давать на семинарах по матлогике во втором семестре 1-го курса в качестве упражнения).

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Последний раз редактировалось Коба Чт ноя 02, 2006 8:42 am, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Задача для новосибирцев
СообщениеДобавлено: Вт окт 31, 2006 6:51 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 434
Коба писал(а):
Можно ли в R (с естественным порядком) изоморфно вложить первый несчётный кардинал \omega_1 (как линейно упорядоченное множество)?
[...] (думаю, её можно смело давать на семинарах по матлогике во втором семестре 1-го курса в качестве упражнения).
Думаю, она и на семинарах по анализу прокатит. Веселая задачка. (Тут достаточно знать, что такое ординал, иметь представление о счетности/несчетности и помнить, например, что в любом интервале есть рациональное число.)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт окт 31, 2006 7:53 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
На анализе люди не знают, что такое кардинал.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Сб ноя 04, 2006 4:11 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
По сравнению со старыми временами народ перестал писать решения задач на форуме. Те, кто решил, обычно сидят тихонечко, ничем себя не выдавая.

Так что завёл опрос.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс ноя 05, 2006 3:41 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Да, количество нерешивших перевесило количество решивших. Совсем народ плохой стал.

Предположим, что изоморфное вложение f : \omega_1 --> R существует и пусть для a \in \omega_1 g(a) равно какому-нибудь рациональному числу, содержащемуся в интервале (f(a), f(a+1)). Тогда множество { g(a) : a \in \omega_1 } состоит из рациональных чисел и более чем счётно. Противоречие.

И да устыдятся те, кто не смог до этого догадаться!!!

А теперь другой вопрос.

Пусть A --- линейный порядок и B \subseteq A. Назовём B плотным в A, если для любых a_1 < a_2 из A существует b из B, такое что a_1 < b < a_2.

Пусть A --- бесконечный линейный порядок, не содержащий счётных плотных подмножеств. Верно ли, что в A можно изоморфно вложить либо \omega_1, либо дуальный (то есть такой, в котором '>' воcпринимается как '<') к \omega_1 линейный порядок?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс ноя 05, 2006 4:24 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 434
Коба писал(а):
Пусть A --- линейный порядок и B \subseteq A. Назовём B плотным в A, если для любых a_1 < a_2 из A существует b из B, такое что a_1 < b < a_2.

Пусть A --- бесконечный линейный порядок, не содержащий счётных плотных подмножеств. Верно ли, что в A можно изоморфно вложить либо \omega_1, либо дуальный (то есть такой, в котором '>' воcпринимается как '<') к \omega_1 линейный порядок?

Поскольку тут сразу возникает элементарный контрпример A=\omega, закрадывается подозрение, что определение плотности (или сама задача?) нуждается в каких-то исправлениях. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс ноя 05, 2006 5:33 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
AGu писал(а):
Поскольку тут сразу возникает элементарный контрпример A=\omega, закрадывается подозрение, что определение плотности (или сама задача?) нуждается в каких-то исправлениях. :)


Ну да, можно определение плотности поправить. Пусть B будет плотно в A, если

a_1 < a_2 and \exists a(a_1 < a < a_2) \rightarrow (\exists b \in B)(a_1 < b < a_2).

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн ноя 06, 2006 12:03 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Коба писал(а):
AGu писал(а):
Поскольку тут сразу возникает элементарный контрпример A=\omega, закрадывается подозрение, что определение плотности (или сама задача?) нуждается в каких-то исправлениях. :)


Ну да, можно определение плотности поправить. Пусть B будет плотно в A, если

a_1 < a_2 and \exists a(a_1 < a < a_2) \rightarrow (\exists b \in B)(a_1 < b < a_2).


Хм... Похоже, я опять плохое определение плотности дал. Ну так попробую ещё раз:

Множество B называется плотным в A, если для любых a_1 < a_2 из A отрезок [a_1,a_2] либо конечен, либо содержит элементы из B.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн ноя 06, 2006 5:14 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Пн май 02, 2005 7:27 pm
Сообщения: 434
Рассмотрим в качестве A множество R^2,
снабженное лексикографическим порядком:
(x1,y1) < (x2,y2) <=> x1 < x2 или (x1 = x2 и y1 < y2).
Очевидно, A является бесконечным и линейно упорядоченным.

Покажем, что в A нет счетного плотного подмножества.
Для этого заметим, что для различных x из R
отрезки I_x = [(x,0),(x,1)] бесконечны и попарно
не персекаются. Стало быть, любое плотное в A
множество для каждого x из R содержит элемент
из I_x и тем самым не может быть счетным.

Теперь покажем, что в A нельзя вложить \omega_1.
Допустим, что (x(i),y(i)) -- такое вложение.
Тогда x(i) -- неубывающая сеть вещественных чисел.
Если она устанавливается, т.е. x(i)=x(j) для всех i,
больших некоторого j, то сеть y(j+i) (по i < \omega_1)
окажется вложением \omega_1 в R, чего не бывает.
Следовательно, сеть x(i) не устанавливается, т.е.
для любого i < \omega_1 существует ординал i'
такой, что i < i' < \omega_1 и x(i) < x(i').

С помощью такой "операции штрихования" i -> i'
построим строго возрастающую сеть счетных
ординалов j(i) (по i < \omega_1) следующим
индуктивным способом. Положим j(0) = 0,
для каждого i < \omega_1 положим j(i+1) = j(i)',
а для любого предельного i < \omega_1
положим j(i) = (lim j(k) по k<i)'.
Осталось заметить, что сеть вещественных чисел
x(j(i)) (по i < \omega_1) строго возрастает
и тем самым является вложением \omega_1 в R,
чего, опять-таки, не бывает.

Случай дуального к \omega_1 порядка сводится
к уже рассмотренному.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн ноя 06, 2006 6:12 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
AGu писал(а):
Рассмотрим в качестве A множество R^2,
снабженное лексикографическим порядком:
(x1,y1) < (x2,y2) <=> x1 < x2 или (x1 = x2 и y1 < y2)...


Да, это пример линейного порядка, который не содержит счётных плотных подмножеств и подмножеств, изоморфных несчётным ординалам.

Похоже, что сформулировать критерий вложимости \omega_1 в линейный порядок --- не такая простая задача, как мне показалось вначале.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB