НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Чт фев 22, 2018 8:17 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Простая задачка для первокуров.
СообщениеДобавлено: Чт ноя 09, 2006 10:04 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Пусть для некоторого простого p каждое из двух множеств
{x1, x2, ... , xp}
{y1, y2, ... , yp}

является полной системой вычетов по модулю p.
Может ли множество
{x1y1, x2y2, , ... , xpyp}
быть полной системой вычетов?

Подсказка: Задачка пришла на ум во время доказательства теоремы Вильсона.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт ноя 09, 2006 10:42 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт ноя 09, 2006 7:31 pm
Сообщения: 17
Откуда: Наташа Ростова
Скажите, это случаем не Роберт Томас ]Вильсон - представитель Британии в ставке главнокомандующего русской армии?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт ноя 10, 2006 1:15 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
Ответ: может. Подсказка: если p достаточно маленькое.


Последний раз редактировалось Гост_Я Сб ноя 11, 2006 3:41 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт ноя 10, 2006 5:13 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
В связи с последней подсказкой придётся пойти на усиление:
Существует ли точная граница между достаточно маленьким и недостаточно маленьким?

На вопрос Наташи ответить не так просто. Я не знаю, как звали автора упомянутой теоремы, более того я не уверен даже в том, что это был он.
В теорию чисел весьма заметный вклад внёс Леонард Эйлер, ему же мы обязаны и авторству многих теорем. К примеру, Лагранж рассматривавший некоторое уравнение в связи с цепными дробями, совсем не подозревал, что он занимался уравнением Пелля, а Пелль, в свою очередь, не догадывался о существовании уравнения с его именем.
Я бы больше поверил, что упомянутая теорема принадлежит Лейбницу, тем более, что однофамилец (или пращур) британского генерала ничем в математике, кроме этой теоремы, вроде бы и не известен, из физики я слышал про его камеру. Зато хорошо известно, как Эйлер относился к Лейбницу.

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт ноя 10, 2006 6:03 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Вт авг 01, 2006 4:51 am
Сообщения: 579
Откуда: Васек Трубачев
Нaташа писал(а):
Скажите, это случаем не Роберт Томас ]Вильсон - представитель Британии в ставке главнокомандующего русской армии?

Вот этот?
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/]Wilson_John.html

_________________
Блинк в центр и юзать третью абилку


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт ноя 10, 2006 6:28 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
Спасибо - Джон, выходит. Результат без доказательства опубликовал Варинг, но он был уже известен Лейбницу.
Первое доказательство вместе с обращением опубликовал Лагранж. В то же время ни Варинг, ни его ученик Вильсон не имели доказательства.
Опять Эйлер напутал. Может быть ему и Лагранж не нравился? :)

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
СообщениеДобавлено: Вс ноя 12, 2006 3:36 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Пн окт 16, 2006 1:20 pm
Сообщения: 195
пока никто не писал(а):
Пусть для некоторого составного p каждое из двух множеств
{x1, x2, ... , xp}
{y1, y2, ... , yp}

является полной системой вычетов по модулю p.
Может ли множество
{x1y1, x2y2, , ... , xpyp}
быть полной системой вычетов?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс ноя 12, 2006 3:49 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб мар 22, 2003 7:13 pm
Сообщения: 102
Откуда: Сергей Столяров
вроде бы нет. В каждом наборе будет элемент, кратный p. Также можно считать, что они в наборах стоят на разных местах. Тогда при перемножении получим в третьем наборе два элемента, кратных p.

_________________
Make tea not love


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс ноя 12, 2006 3:56 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
cancel писал(а):
вроде бы нет. В каждом наборе будет элемент, кратный p. Также можно считать, что они в наборах стоят на разных местах. Тогда при перемножении получим в третьем наборе два элемента, кратных p.
Вопрос был "может ли быть?", а не "может ли не быть?"


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн ноя 13, 2006 3:36 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Сб мар 22, 2003 7:13 pm
Сообщения: 102
Откуда: Сергей Столяров
Да, я уже заметил. По идее надо бы теорему Вильсона посмотреть, но лениво, поэтому потом как-нибудь.

_________________
Make tea not love


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн ноя 13, 2006 10:53 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Хм...

В силу своего глупого ослиного упрямства решил не узнавать ничего про теорему Вильсона. Дескать, не надо нам никаких теорем, мы как-нибудь так, по простому...

Затратив некоторое время (довольно значительное), задачу всё же решил. После этого со спокойной душой полез искать, как теорема Вильсона формулируется, и обнаружил, что она составляет одно из утверждений, которые я доказываю и затем использую в собственном решении.

А если знать формулировку теоремы Вильсона, то задача решается сразу же, в одну строчку.

P. S. Кстати, требование на простоту p в условии лишнее. Можно доказать следующее утверждение: для произвольного натурального d если x_1,...,x_d; y_1,...,y_d и x_1y_1,...,x_dy_d --- полные системы вычетов по модулю d, то d < 3.

P. P. S. Увидел в своём доказательстве для произвольного d ошибку. Так что пока не знаю, правильно про d < 3 или нет.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт ноя 14, 2006 10:00 am 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт ноя 09, 2006 7:31 pm
Сообщения: 17
Откуда: Наташа Ростова
Правильно.
Во-первых, все обратимые элементы в первой и второй системе должны стоять друг против друга, иначе в третьей окажется обратимых меньше, чем их есть в кольце Z_d.
Остались делители нуля, которые тоже должны стоять друг против друга. Но в полугруппе делителей нуля есть неразложимый в этой полугруппе элемент. В третьей системе его нет.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт ноя 14, 2006 10:16 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Нaташа писал(а):
Но в полугруппе делителей нуля есть неразложимый в этой полугруппе элемент. В третьей системе его нет.


Неразложимый элемент есть не всегда.

Например, в Z_6 делителями нуля будут 2, 3 и 4. Имеем 2=2*4, 3 = 3*3, 4 = 2*2.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт ноя 14, 2006 1:03 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Пн окт 16, 2006 1:20 pm
Сообщения: 195
Предлагаю индукцию по N, где d=p*(произведение N сомножителей).
Числа вида (p*m) необходимо перемножить между собой. Затем из произведений надо вынести p^2. Для набора, оставшегося после вынесения, утверждение верно по предположению индукции.
Если N=1, то по Вильсону. Спец. случай d=4 очевиден.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт ноя 14, 2006 1:31 pm 
Не в сети
Редкий гость

Зарегистрирован: Чт ноя 09, 2006 7:31 pm
Сообщения: 17
Откуда: Наташа Ростова
Да, я ошиблась - посчитала, что можно взять самое длинное произведение отличное от нуля.
Можно так тогда:
Среди каждой из первых двух систем есть квадртичные невычеты по модулю d, а в третьей их нет.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB