НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Сб фев 24, 2018 1:41 am

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Периодические функции
СообщениеДобавлено: Вс дек 03, 2006 8:41 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
Забавная задачка из заданий первокурсников физфака: интересно будет провести эксперимент и узнать, сколько времени потребуется среднему первокурснику мехмата, чтобы её решить(если такие энтузиасты среди присутствующих на форуме семинаристов найдутся :) ). Про периодические функции f и g известно, что f(x)-g(x)-->0 при x-->\infty. Доказать, что f(x)=g(x) \forall x. Непрерывность f, g не предполагается.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс дек 03, 2006 9:50 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Точно-точно! Это наша задача из первых месов по матану. Более того, на лекциях мы ее даже разбирали. Надеюсь, математики ее без труда решат.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс дек 03, 2006 10:08 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вс июл 10, 2005 10:14 pm
Сообщения: 165
Откуда: Стас Минскер
А из ваших студентов многие её решили?
Всё же, на всякий случай попрошу во возможности в ветку постить только вещи, связанные непосредственно с решением задачи :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вс дек 03, 2006 11:25 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Извилин писал(а):
А из ваших студентов многие её решили?
Нет, далеко не многие.
Хотел бы добавить ещё несколько слов к формулировке условия(исходная формулировка корректна, но на всякий случай): наличие общего периода изначально не предполагается. Естественно, обе функции определены на всей числовой оси.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн дек 04, 2006 3:15 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Чт май 27, 2004 6:24 pm
Сообщения: 68
Откуда: Куликов Пётр
Что я могу сказать:) Магистрант тупил над этой задачей час и еще чуток, а потом в голову ударило очень простое решение))


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн дек 04, 2006 3:46 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
Я решал эту задачку тоже примерно час. Писал то на одном листе, то на другом. Наконец понял, что заветное решение уже создано. Решил его написать на чистовик. Так вот, одна сторона листа А4 была полностью занята решением.
А у Вас, Jako, решение, наверное, в две строчки? Было бы очень интересно посмотреть на него. Может, пришлете мне его в личку?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пн дек 04, 2006 4:01 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Пн окт 16, 2006 1:20 pm
Сообщения: 195
Подсказка
Если T - период для f(x), то |g(x+T)-g(x)|<=|g(x+T)-f(x+T)|+|g(x)-f(x)|, поэтому T - период и для g(x)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт дек 07, 2006 7:14 pm 
Не в сети
Частый гость

Зарегистрирован: Чт май 27, 2004 6:24 pm
Сообщения: 68
Откуда: Куликов Пётр
BSK, мне кажется, что последнее ваше заключение неверно :-? . Докажите его, пожалуйста.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт дек 07, 2006 7:17 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Верно ли, что если f(x), g(x) и h(x) = f(x) + g(x) --- периодические функции из R в R, то функции f и g имеют общий период?

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт дек 07, 2006 7:28 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Jako писал(а):
BSK, мне кажется, что последнее ваше заключение неверно :-? . Докажите его, пожалуйста.


Да нет, всё там верно. Действительно короткое и изящное решение.

Только непонятно, зачем BSK понадобились модули и неравенство с модулями. Достаточно записать равенство без всяких модулей и применить теорему о пределе суммы.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт дек 07, 2006 7:36 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Пн окт 16, 2006 1:20 pm
Сообщения: 195
Jako писал(а):
BSK, мне кажется, что последнее ваше заключение неверно :-? . Докажите его, пожалуйста.
Пожалуйста. Пуст t - период для g(x), y - произвольное, x=y+n*t - достаточно большое.
Тогда eps=|g(y+T)-g(y)|=|g(x+T)-g(x)|<=|g(x+T)-f(x+T)|+|g(x)-f(x)|<eps, откуда eps=0.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт дек 08, 2006 1:10 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт янв 31, 2006 6:14 pm
Сообщения: 125
Откуда: Буров Павел
Коба писал(а):
Верно ли, что если f(x), g(x) и h(x) = f(x) + g(x) --- периодические функции из R в R, то функции f и g имеют общий период?

Спасибо, забавная задачка. Только уж больно простая. \sin 2x, \sin 3x, \sin 2x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x}2\cos\frac{x}2. Периоды лень считать, но точно у f и g разные, а у последней 4\pi точно период (может быть даже и поменьше).


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт дек 08, 2006 1:16 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Пн окт 16, 2006 1:20 pm
Сообщения: 195
bpa писал(а):
Коба писал(а):
Верно ли, что если f(x), g(x) и h(x) = f(x) + g(x) --- периодические функции из R в R, то функции f и g имеют общий период?

Спасибо, забавная задачка. Только уж больно простая. \sin 2x, \sin 3x, \sin 2x + \sin 3x = 2\sin\frac{5x}2\cos\frac{x}2. Периоды лень считать, но точно у f и g разные, а у последней 4\pi точно период (может быть даже и поменьше).

У f, g и h есть одинаковые периоды, например 2*Pi.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт дек 08, 2006 5:43 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Сб окт 14, 2006 1:00 am
Сообщения: 628
Откуда: Максим
А почему только тригонометрические функции учитываем не могу понять. Например, пусть {x} --- дробная часть числа. Тогда, например, функция {x}+{2x} --- периодическая, а общий период у {x} и {2x} равен 1. Я нигде не соврал?


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт дек 08, 2006 6:12 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Чт ноя 20, 2003 9:07 pm
Сообщения: 1919
Откуда: СССР
MaxVT писал(а):
А почему только тригонометрические функции учитываем не могу понять.

А почему только целые периоды рассматриваем, не могу понять. Что, больше и чисел нету? :)

_________________
Наука умеет много гитик.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB