НГУ

Форумы НГУ
Текущее время: Сб фев 24, 2018 5:16 pm

Часовой пояс: UTC + 7 часов




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Маляры-растяпы
СообщениеДобавлено: Пн май 07, 2007 5:56 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Эту задачу мне подкинул наш секретарь кафедры.

------------

Маляр уронил на плоскость ведро с краской, в результате чего образовалось пятно площадью a (пятно не обязательно должно состоять из одной связной области, просто какое-то измеримое множество меры a). Всегда ли можно преобразованием движения передвинуть это пятно так, чтобы в него не попадала ни одна точка плоскости с целочисленными координатами?

Известно, что число a

1) меньше 1
2) равно 1
3) меньше чем pi/2

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 10:06 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Ех, никто не решает. Совсем народ плохой стал.

Между тем первый вариант (a < 1) довольно прост.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 11:58 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
А вторые два - пятно ведь может иметь форму точного квадрата, поэтому тоже очевидные.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 12:05 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Ср июн 15, 2005 4:00 pm
Сообщения: 1155
veprus писал(а):
А вторые два - пятно ведь может иметь форму точного квадрата, поэтому тоже очевидные.
Мне кажется, что они очевидны в случае неочевидности того, что такое преобразование движения.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 12:25 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
veprus писал(а):
А вторые два - пятно ведь может иметь форму точного квадрата, поэтому тоже очевидные.


И что тут очевидно? Мы ведь можем вращать плоскость, а не только делать параллельный перенос!

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 3:50 pm 
Не в сети
Опытный автор

Зарегистрирован: Вс окт 17, 2004 1:15 am
Сообщения: 419
Откуда: НГУ
Коба писал(а):
veprus писал(а):
А вторые два - пятно ведь может иметь форму точного квадрата, поэтому тоже очевидные.


И что тут очевидно? Мы ведь можем вращать плоскость, а не только делать параллельный перенос!


Если еще дозволите переходить в движущуюся (релятивисткую) систему отсчета, совсем проблемма снимется. :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 3:53 pm 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Morozov_I_I писал(а):
Если еще дозволите переходить в движущуюся (релятивисткую) систему отсчета, совсем проблемма снимется. :)


А если люди ещё научатся внимательно читать условия задач, то все проблемммы ваще унисуца прочь со скоростью света.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Вт май 08, 2007 4:55 pm 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
Если ограничиться параллельным переносом решётки, то ответом было бы "меньше 1", а если разрешить повороты то "меньше pi/2".

Вспомнил похожую задачу: доказать, что если множество на плоскости имеет ненулевую меру Лебега, то в нём найдутся три точки, являющееся вершинами равностороннего треугольника.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср май 09, 2007 8:57 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Всё же под движениями как раз понимаются параллельные переносы. Надо было уточнить, что переносы и повороты. Тогда, конечно, меньше pi/2


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Ср май 09, 2007 9:50 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Преобразование движения --- это школьный термин. В планиметрии два треугольника называются равными, если они переводятся друг в друга преобразованием движения.

Ещё у нас на первом курсе на ангеме была теорема Дарбу: преобразование R^n является преобразованием движения тогда и только тогда, когда оно сохраняет все расстояния.

Каждое преобразование движения можно представить в виде композиции преобразований трёх видов: вращения, параллельного переноса и симметричного отражения. Короче, преобразование движения --- это аффинное преобразование, матрица которого ортогональна.

P. S. Я не знаю доказательства для a < pi/2 и даже для a = 1. Кто знает --- пишите.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Чт май 10, 2007 10:08 pm 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт фев 14, 2006 12:17 am
Сообщения: 168
Откуда: кася корнилова
примерно такую задачку подкидывал Der Pimpf однажды :)


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт май 11, 2007 7:25 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
catkorn писал(а):
примерно такую задачку подкидывал Der Pimpf однажды :)


Коба писал(а):
Эту задачу мне подкинул наш секретарь кафедры...


Der Pimpf --- это и есть секретарь нашей кафедры.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт май 11, 2007 9:27 am 
Не в сети
Постоянный посетитель

Зарегистрирован: Вт дек 14, 2004 4:37 pm
Сообщения: 177
Откуда: Вдовин Евгений Петрович
Просто измеримое множество меры a - это очень жестоко... Хотя бы конечное число связных областей было бы...


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт май 11, 2007 10:46 am 
Не в сети
Непрерывный писатель

Зарегистрирован: Пт июн 18, 2004 10:34 pm
Сообщения: 4435
Откуда: Сергей Подзоров
Для a < 1 всё довольно просто. Чувствую, пришла пора написать решение.

Пусть A --- множество точек пятна, а f --- отображение плоскости в себя, сопоставляющее точке (x,y) точку ({x},{y}) (фигурные скобки здесь обозначают дробную часть числа). Тогда f(A) --- измеримое подмножество единичного квадрата меры <= a и, значит, существует точка (x_0, y_0), такая что 0 <= x_0, y_0 < 1, не принадлежащая f(a). Параллельный перенос, переводящий эту точку в начало координат, будет искомым преобразованием движения.

Но --- это первый, самый простой случай. А как решать для a = 1 и a < pi/2 я пока не знаю.

_________________
Don't let the sun blast your shadow
Don't let the milk float ride your mind


Последний раз редактировалось Коба Пт май 11, 2007 2:54 pm, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения:
СообщениеДобавлено: Пт май 11, 2007 11:45 am 
Не в сети
Весьма плодовитый автор

Зарегистрирован: Пт окт 01, 2004 6:27 pm
Сообщения: 1869
В.П. писал(а):
Если ограничиться параллельным переносом решётки, то ответом было бы "меньше 1", а если разрешить повороты то "меньше pi/2".

Мне казалось, что нетрудно показать, что если к сдвигу добавить поворот на pi/4, то аналогично написанному выше получится восьмиконечная звезда вместо квадрата и т.д., добавляя двоично-рациональные повороты pi/2^k, получим в пределе круг радиуса 1/sqrt{2}. Однако, поразмышляв над задачей дольше понял, что всё не так просто.


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Часовой пояс: UTC + 7 часов


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [Bot] и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
Создано на основе phpBB® Forum Software © phpBB Group
Русская поддержка phpBB